数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.35

stomachman

ANo,33へのコメントについてです。

> 僕は、 x/y＞1という不等式を解きなさい、領域を描きなさいという問題を想定して、同値変形しています

　つまり、「y(x-y)＞0 (なぜなら、この不等式から…」という所は「y(x-y)＞0 (⇔ y(x-y)＞0 ∧ y≠0）」という意味ですか。それなら理解できます。（しかし、だったらなぜその前の段階で（xy＞y^2 かつ y≠0)と同値の(xy＞y^2)にしとかないのかな？というのはありますけど。）

　それはさておき、ではなくて、強く関連しているようですが、

> x≠yならばx/y≠1

> は真か偽か？

> とあったら、僕は、

> ∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」

> と考える

　ところがstomachman流に問題を

　　∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ ∀z(yz=x → z≠1))
と読むと、この式は真になります。
　違いは、【「x/y」が出てくれば「 ∧ y≠0 」を補って読む】というルールを採用なさってる（ように見える）という点にあります。そして、「暗黙のうちに分母≠0という条件が付いている」ということの意味はこれなのだろうな、と思います。そこで、

＞人によっては対偶を考えて、

　しかし、対偶を考えたって答は同じであるはずです。対偶を取ったせいで結論が変わる、なんてことはない。（割り算どころか命題論理のレベルの話ですから、ここを曲げる訳には行きませんよ。）なのに「対偶を取ったら結論がひっくり返った」かのように見えた。その原因は、上記のルールによれば、

> ∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝

の括弧{ }内の対偶を取った式が

> ∀x∈R、∀y∈R｛（x/y＝1）⇒（x=y）}

ではない、ということでしょう。じゃあ、ルールを適用した結果は
　　∀x∈R、∀y∈R｛（x/y＝1 ∧ y≠0）⇒（x=y）}
なのか、それとも
　　∀x∈R、∀y∈R｛（x/y＝1 ∨ y=0）⇒（x=y）}
なのか。
　もちろんルールに従っている前者が正解です。が、一方「対偶を取ったせいで結論が変わる、なんてことはない」ということから決まる「正しい式」は後者です。おやおや？

　再度ルールを確認しますと、「x/y」が出てきたら「 ∧ y≠0 」を補う。すなわち「x/y＞1」なら「x/y＞1 ∧ y≠0 」と読み、「x/y≠1」なら「x/y≠1 ∧ y≠0 」と読み、「x/y＝1」なら「x/y=1 ∧ y≠0 」と読む。だとすると、
　　￢(x/y≠1)
をどう読むんでしょうか。
　　￢(x/y≦1)
ならどうでしょう。
　という訳で、このルール、なんかおかしいですね。ってことは「【「x/y」が出てくれば「 ∧ y≠0 」を補って読む】というルールを採用なさってる（ように見える）」という推測が誤りなのでしょう。
　では、正しいルールはどうなんでしょうか。（stomachmanの答はもちろんANo.33の最後の式です。）

お礼

ありがとうございます。

x≠yならばx/y≠1
の自然な解釈として意見が分かれました。

stomachmanさんは、ANo.33の最後の式で、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ ∀z(yz=x → z≠1)) は「真」
つまり、x≠yならば、yz=xとなるようなzがあれば、そのzに対してz≠1。例えば、x=1,y=0とするとそのようなzはないので、x=1,y=0は結論を満たす。

No.37のMagicianKumaさんは、
対偶は、∀x∈R,∀y∈R(￢(x/y≠1) ⇒ ￢(x≠y))　
つまり、∀x∈R,∀y∈R(x/y=1 ⇒ x=y)　で「真」

No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

僕は、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」
理由は、結論において、x/y≠1を満たす領域を想定して、y≠0のもとで両辺にyをかけて同値変形した。

＞しかし、対偶を考えたって答は同じであるはずです。対偶を取ったせいで結論が変わる、なんてことはない。

僕のいいたかったことは、式の順序で、微妙な解釈が変わるということです。
例えば、2log(x)=log(x^2)と書くのはいいとしても、log(x^2)=2log(x)と書くのはよくない。log(x^2)=2log|x|と書いたほうがいいということです。その例においても変数の範囲が明記されてないことによる解釈の違いが発生しますが、僕の解釈では、左辺が先にあり右辺に変形するということを想定しています。
もうひとつの例は、高校で区分求積法を習いますが、
lim[n→∞]Σ[k=1,n]f(k/n)(1/n)=∫[0,1]f(x)dx
と教科書に書いてあり、決して、∫[0,1]f(x)dx=lim[n→∞]Σ[k=1,n]f(k/n)(1/n)とは書かれていないことです。高校では不定積分が先に出てきて、大学では定積分(リーマン積分)が先に出てきて、といった積分の定義が違うので、区分求積法の扱いはまぎゃくになることは知っています。

x≠yならばx/y≠1

という命題において、僕はy≠0というルールを右辺だけに補うという解釈なのですが、人によっては、
「仮定ならば結論という命題はひとつにつながったもので、右辺だけに適用するのはおかしい。げんに、対偶をとれば左右が逆になるではないか。なので、y≠0というルールは両辺全体に適用する」という解釈なのです。

＞再度ルールを確認しますと、「x/y」が出てきたら「 ∧ y≠0 」を補う。という訳で、このルール、なんかおかしいですね。

￢(x/y≠1)⇔￢(x/y≠1 ∧ y≠0)⇔￢（x≠y ∧ y≠0）⇔（x＝y ∨ y＝0）
⇔(（x/y=1 ∧ y≠0）∨ y=0)⇔(（x/y=1）∨ y=0)
と僕は読みます。x/y≠1を満たす領域を想定して、y≠0のもとで、両辺にyをかけたx≠yの領域を描き、xy平面に対する補集合を考えます。
￢(x/y≦1)⇔(（x/y＞1）∨ y=0)
と読みます。解釈の違いは確かにあるとしても、このルールがおかしいというのは納得できないです。