数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.38

stomachman

ANo.35へのコメントについてです。

　大変興味深い話が出てきたように思います。楽しいですねえ。

> このルールがおかしいというのは納得できないです。

>x≠yならばx/y≠1

>という命題において、僕はy≠0というルールを右辺だけに補うという解釈なのですが、

　「右辺だけ」とは気がつきませんでした。さて、

　　x/y≠1 ∨ x=y
にはその「右辺」がないんですが、どうなさるんでしょうか？　という質問をしなくてはならない。ということは、「ルール」がまだきちんと記述されていない、ということに他ならないでしょう。
　さらに、単独で
　　x/y≠1
と書かれた場合にどうなさるかと言うと、

> ￢(x/y≠1)⇔￢(x/y≠1 ∧ y≠0)⇔￢（x≠y ∧ y≠0）⇔（x＝y ∨ y＝0）
> ⇔(（x/y=1 ∧ y≠0）∨ y=0)⇔(（x/y=1）∨ y=0)

ということですが、二重否定の除去
　　￢(x/y≠1) ⇔ x/y=1
をおこなってからお示しの例に倣うことにすれば、
　　x/y=1 ⇔ (x/y=1 ∧ y≠0)
となるでしょう。最後にお書きの

> (（x/y=1）∨ y=0)

とは異なる答が出てしまいました。だからこの「ルール」はなんかおかしいと申し上げたのです。

　（なお、ANo.36には「a≠b は￢(a=b)の略記ではない」というご意見も出ているようですが、"="は定義域を必要としないワイルドカードである。なのに、"≠"はただの関係だ（∴扱う対象の集合ごとに、その都度定義し直す必要がある）というのはちと無理ではないかと思います。）


> と僕は読みます。x/y≠1を満たす領域を想定して、y≠0のもとで、両辺にyをかけたx≠yの領域を描き、xy平面に対する補集合を考えます。

　すると「ルール」というのは、どうやら機械的に記号を処理するというものではなくて、「その場その場で"/"の定義域と照らし合わせる」ということをなさっているのだろうと思います。
　でも、そのやり方をするには、定義域が分かっていないといけないのではないか。もし"/"が「まだ定まっていないある2変数関数」だったらお手上げになりませんか？さらには、「未知の関数f」が出て来る関数方程式（たとえば微分方程式）
　　g(f,x)=0
だとどうする？fの定義域どころか、そんなfがあるかどうかすら未知です。

　そういう場合にも
　　∀f∀x(g(f,x)=0 → P(f,x))
ならば何の問題も起こらないわけですが。

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> 左辺が先にあり右辺に変形するということを想定しています

　a=b と b=a は同じことである。また、a⇔b と b⇔a は同じことである。同じことなら、せっかく左辺と右辺の区別があるのだから「左辺が先にあり右辺に変形する」という意味に流用しちゃおう、という話ですね。
　ですが、それはただの略記に過ぎません。略記のせいで曖昧さが生じる場合には、当然、略記はやめなくてはいけないでしょう。たとえば、お書きのような、一連の推論を表すための
　　A⇔B⇔C
という書き方は断然落第です。なぜなら、正直に括弧を補って
　　(A⇔B)⇔C
すなわち
　　(((A∧B)∨(￢A∧￢B))∧C)∨(((A∨B)∧(￢A∨￢B))∧￢C)
と読んで、何もおかしなところはないからです。さらに、たとえばAに真, BとCに偽を割当てると(A⇔B)⇔C は真。だからこれは "A⇔B⇔C" で意図なさった筈の意味とはまるで違うことを述べている命題でしょう。
　要するに、推論|- と論理演算"⇔"とを混同したための誤りだと思います。（「カリーのパラドックス」も類縁の話でしょう。）

　一方、習慣的に
　　A=B=C
とか書いちゃいますが、これに正直に括弧を補って
　　(A=B)=C
と読もうとしても、「(A=B)という命題は対象(集合)じゃないんだから、"="の左辺にならないでしょ。だから、これは略記なんだな、と分かって下さいよ」という言い訳ができます。略記と分かっていればいつでも正書法
　　(A=B) |- (A=C)
に戻せるのだから手抜きを許してよ、ということですね。

　そういう訳で、右辺左辺のお話はご質問とは切り離せる、別件でしょう。

お礼

ありがとうございます。まず、前回のお礼に書いた「x≠yならばx/y≠1」の件で、No.36のalice_44さんの書いた式に誤植があると思われ、僕自身も誤植のまま引用したので、勝手ながら訂正します。

修正前
No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

修正後
No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y=0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

改めて整理すると、僕は分数表記があれば必ず、分母≠0をその都度補うという解釈です。
x/y≠1という表記があったとして、
∃z(x=yz)∧z≠1
という解釈と、
∀z(x=yz⇒z≠1）
という解釈があるとstomachmanさんはおしゃっていました。
僕はいかなる場合も前者で解釈するという立場。

（x≠yならばx/y≠1
）⇔（x≠yならば（y≠0 ∧ x/y≠1
））⇔（x≠yならば（y≠0 ∧ x≠y
））

（x/y≠1 ∨ x=y）⇔（（y≠0 ∧ x/y≠1）∨ x=y）⇔（（y≠0 ∧ x≠y）∨ x=y）

なにもおかしくはありません。

＞二重否定の除去　　￢(x/y≠1) ⇔ x/y=1

僕の解釈では、これはダメです。分数表記があるときは、分母≠0が隠れているという解釈なので、そういった二重否定の除去できません。

いただいたご回答の後半は、すみませんがよく理解できませんでした。

僕の、左辺右辺とか対偶のたとえ話はよくなかったので、ちょっと変えて、改めて書きます。

y/x≠1ならばx/y≠1
は真か偽か？
とあったら、僕は（（x≠0 ∧ y/x≠1
）ならば（y≠0 ∧ x/y≠1
））で偽と読みます。
つまり、その都度、分母≠0を補うという解釈。
人によっては分母≠0を全体に補って、
（（x≠0 ∧ y≠0
）ならば（y/x≠1ならばx/y≠1））で真と読む人もいる。