数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.39

MagicianKuma

>僕は、∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」
>理由は、結論において、x/y≠1を満たす領域を想定して、y≠0のもとで両辺にyをかけて同値変形した。
x/y≠1を満たす領域を想定するのに、y≠0を持ってくるのがよく分かりません。
＞{(x,y)∈R^2|x/y≠1}の領域をxy平面に描くのに、y≠0を補って描きます。その点もMagicianKumaさんと解釈が違うのでしょうか。
x/y=1を考えるなら、y≠0が必要ですが、x/y≠1　すなわち　￢(x/y=1)でしょう。y=0の時　￢(x/y=1)は真でしょう。何も補う必要ないでしょう。

そもそも、∀x∈R,∀y∈Rを補うのも、
P(仮定) ⇒ Q(結論)　を考えるとき、Pが偽ならQの真偽によらずP ⇒ Qは真。だからPが真について考えれば良いということから、
元問題　x＞y ⇒ x/y＞1　に∀x∈R,∀y∈Rを補った理由も、仮定であるx>yが真となるためです。
もちろん∀x∈R,∀y∈Rは(x＞y ⇒ x/y＞1）全体に掛かるわけです。

一方　x≠y ⇒ x/y≠1　なら何も補わず、あらゆるx,yを持ってきても良いはずです。ｘ=キリン,y=リンゴとか。　/が何を意味するのか分かりません。
なので、命題になっていないと以前書きました。∀x∈R,∀y∈R(x≠y ⇒ x/y≠1)　とすると命題になりますが、その場合
x≠y かつ y≠0 ならば x/yは定まり、x/y≠1が成立する。
x≠y かつ y=0 ならば x/yは未定義でx/y≠1が成立する。
(x≠y かつ y≠0）または（x≠y かつ y=0） ⇔ x≠y なので結局、全ての実数x,yに対して，x≠y ならば x/y≠1　は成り立つ。　だけのことなんですが。

お礼

ありがとうございます。まず、前回のお礼に書いた「x≠yならばx/y≠1」の件で、No.36のalice_44さんの書いた式に誤植があると思われ、僕自身も誤植のまま引用したので、勝手ながら訂正します。

修正前
No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

修正後
No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y=0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

＞x/y=1を考えるなら、y≠0が必要ですが、x/y≠1　すなわち　￢(x/y=1)でしょう。

それは僕の解釈とは異なります。僕は分数表記があれば必ず、分母≠0をその都度補うという解釈です。

（x/y≠1）⇔（y≠0 ∧ x/y≠1）⇔(y≠0 ∧ x≠y）
また、
￢(x/y=1)⇔￢(y≠0 ∧ x/y=1)⇔￢(y≠0 ∧ x=y)⇔(y＝0 ∨ x≠y)
したがってその二つは同値ではないという解釈です。

x/y≠1という表記があったとして、
∃z(x=yz)∧z≠1
という解釈と、
∀z(x=yz⇒z≠1）
という解釈があるとstomachmanさんはおしゃっていました。
前者は、まずx/yの値が存在しなければいけなく、そのもとで……、つまり、分母y≠0を補うという解釈。
後者は、x/yの値が存在しなければそれでよいが、存在したとすれば……という解釈。

僕はいかなる場合も前者で解釈するという立場。p⇒qのqだけで分数表記があれば、そこだけでその解釈をするという立場。
MagicianKumaさんは、後者の立場なのでしょうか?

MagicianKumaさんは、No.23で、

＞0≦x≦1 ならば 1/x≧1 の真偽をどう考えますか？
＞この命題を偽ととらえる人（私もそうです）にとっては、x=0のとき1/x≧1は成立しないが反例として唯一のものではないでしょうか？

とかかれましたが、後者の立場では、その命題は真になると思うのですが。