数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.41

stomachman

ANo.38へのコメントについてです。

> ＞二重否定の除去　　￢(x/y≠1) ⇔ x/y=1


> 僕の解釈では、これはダメです。分数表記があるときは、分母≠0が隠れているという解釈なので、そういった二重否定の除去できません。

　うーむ、やはりそうおっしゃいますか。二重否定を除去できないとなると、考えられる唯一の説明は「x/y≠1は命題ではない」ということです。（なぜなら、あらゆる命題について、二重否定の除去は適用できるから。）
　つまり、（「∧ y≠0を補う」なんてもんじゃ済まなくて）そもそも「x/y」という文字列が残っている限り、それは論理式になってない「モドキ」であるということです。だとすれば、モドキを相手に対偶だの何だの言ってみても詮無い。（いや、モドキかモドキでないか、という議論をしようという訳ではありません。実はこういう話になるのを予想して、必要のない所では"/"を書かないようにしていたんですよ。そうすればヤヤコシいものを無しで済ませられるのですから。）
　ま、"/"の取り扱い（二重否定の除去禁止だの分母≠0を補うだのの規則の追加）をいくら定式化してみても、所詮は我流数学を拵えているだけになっちゃいます。そんなことやるより、基礎論を読み直す方が良いと思うなあ。

　それはさておき、
　　x=yz∧z≠1
だと、(x=yz)となるzがない場合にはこの命題全体が偽になり、
　　x=yz⇒z≠1
だと、(x=yz)となるzがない場合にはこの命題全体が真になる。これは"∧"と"⇒"の違いです。
　さらに、(x=yz)となるzが複数ある場合にそれらが全部z≠1なのか、それともz≠1となるものがひとつあればい良いのか、というのが∃と∀の違いです。("/"の場合はたまたま、存在すれば唯一である、という事情がありますけど。）

　★ 表現すべき命題の意味内容に応じて、これらの組み合わせを使い分けるのは全く差し支えないばかりか、使い分けねば正しく表現できません。

　さて、ご質問の場合はというと、x/y＞1という表記があったとして、それだけでは、どういう論理式に翻訳されるべきか、つまり「表現すべき命題の意味内容」が定まらない。言い換えれば、設問が一意的でない。だから設問に穴があるよ、というのが申し上げている趣旨です。

　いろんな「解釈」を対比なさっているけれども、"/"を含んだ形で書いていては「分母≠0を補うかどうか」などの曖昧さが残ったままになってしまって、整理したことになりません。"≠"にまで疑義が出ていますから、これも避けて￢(y=0)と書くことにする必要があるでしょう。
　たとえば「x/0は定義されていないからx/0＞1は偽」というご意見なら、設問は
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R ∧ x＞y)→∃z(yz=x ∧ z＞1))
と読まれたのだと分かりますし、対偶を考えたって同じ事です。また、「x/yと書いただけでy≠0がくっついてくる」というご意見では、それだけじゃ話は決まりませんが、
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R ∧ x＞y)→∃z((yz=x ∧ ￢(y=0)) → z＞1))
とか、
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R ∧ x＞y)→(￢(y=0)→∃z(yz = x ∧ z＞1)))
ということをおっしゃっているのかも知れない。（いまだに「ルール」が分からんので。）
　いずれにせよ、曖昧さを一切排除するのでなくては、論理式を書く甲斐がありません。

　しかし、そうやって整理した結果は、「元が曖昧なものを強いて読むならあなたはどう読むか」というだけのことであって、（カンチガイは大方終息したようなので、残っているのは）断然どれが正しいというものではない、せいぜい感性や習慣の話ですよ。

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> 回答の後半は、すみませんがよく理解できませんでした。


　おや、そですか。しかし、A⇔B⇔C
という書き方は断然落第、という所は憶えておかれると良いと思います。たとえば

> （x≠yならばx/y≠1）⇔（x≠yならば（y≠0 ∧ x/y≠1））⇔（x≠yならば（y≠0 ∧ x≠y））

とは、「「（x≠yならばx/y≠1）の真偽値と（x≠yならば（y≠0 ∧ x/y≠1））の真偽値は一致する」という命題の真偽値と、（x≠yならば（y≠0 ∧ x≠y））の真偽値は一致する」という意味になっちゃいますけど、そう読まれていいんですか？ということです。
　なお、推論と論理演算子との関わりについては、このカテゴリーで「カリーのパラドックス」を検索なされば、stomachmanのヨタが出てきます。

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　横レスになりますけど、ANo.39のコメントにお書きの

> ∃z(x=yz)∧z≠1
> 前者は、まずx/yの値が存在しなければいけなく、そのもとで……、つまり、分母y≠0を補うという解釈。

　もう、まるきり違います。きっとお忙しくてお間違えになったのでしょうが、余りに甚だしい誤解をなさっているようなので：
　第一に、「分母y≠0を補う」だなんて、どこに書いてありますか？ そんなことをせずに記述するための式なんだけどなあ。ToT　
　第二に、そもそも「∃z(x=yz)∧z≠1」だなんてナンセンス、書いてない筈（もし書いてたらミスタイプです）。
　第三に、「存在しなければいけなく」なんかないです。ただ、存在すれば真、しなければ偽、それだけのことです。
　第四に、「まず」も何も、∃z(x=yz∧z≠1)は∃z(z≠1∧x=yz)と同義ですし∃z(1≠z∧yz=x)とも同義です。交換可能な演算子において順番に意味がないのは当然のことでしょう。

お礼

ありがとうございます。

お互いのすれ違いは、高校数学の表記の習慣が関わっているのかなあと思うようになりました。
高校では方程式を解けとか、・・・であるような条件を求めよ、という問題があったら次のような同値変形します。カリーのパラドックスを検索する時間が今はないのですが、次のような表記は高校参考書では普通です。

(x-1)/x=0 ⇔ x≠0 ∧ x-1=0 ⇔ x=1

(x-1)/x≦0 ⇔ x≠0 ∧ x(x-1)≦0 ⇔ 0＜x≦1

(x-1)/x≠0 ⇔ (x-1)/x＜0 ∨ (x-1)/x＞0 ⇔ x＜0 ∨ 0＜x＜1 ∨ 1＜x ⇔ x≠0 ∧ x≠1

lim[n→∞]r^n=0 ⇔ -1＜r＜1

lim[n→∞]r^nは振動 ⇔ r≦-1

しかし、習慣的に次のような表記はあまりしないのです。

lim[n→∞]r^n≠0（これだけだと、収束するかどうかも分かりにくいため）
1/0は存在しない(1/0の意味が分かりにくいため)
行列Aに対して、A^(-1)は・・・(通常はA^(-1)を書く以前に、その存在性について明記)

高校生は、「lim[n→∞]r^n」だけを見るとそれは単なる記号で、収束も発散も振動もする可能性があると読みます。
高校生は、「(x-1)/x」だけを見ると、それは具体的な値が定まる関数として、それだけでx≠0が前提と読みます。

それらの違いに、何かの数学的意味があるのではなく、単なる習慣です。
なので、論理式においても、分数式があるとそれだけで分母≠0を補って読むのが習慣、と僕は解釈します。