完全微分方程式の積分因数について

質問

ある参考書の、(P(x)y-Q(x))dx+dy=0
とういう問題で、積分因数をe~(∫P（ｘ）dx)が判明し、それを両辺にかけて、
((Py-Q)e~(∫Pdx))dx+(e~∫Pdx)dy=o
となり、その式をとくと、∫(Py-Q)e^（∫Pdx）=Cとなるらしのせすがその過程がわかりません。

結果y=e^-(∫Pdx)×（∫Qe^(∫Pdx))dx+C)
になるらしのですがそこまでも導けません
教えてください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

ミスプリ：
積分して、uy - ∫Q(x) u dx = (定数) より、
y = (1/u){ ∫Q(x) u dx + (定数) }

回答No.2

alice_44

u = e^{ ∫P(x)dx } という変な式をよく見つめると、
du/dx = P(x) u という微分方程式の解であることに気づく。
これは、左辺の一部 P(x) y dx + dy を
P(x) u y dx + u dy = (du/dx) y dx + u dy = y du + u dy = d(uy)
という完全微分にまとめるのに役立つ。
方程式の両辺に u を掛けて、d(uy) - Q(x) u dx = 0。
積分して、uy - ∫Q(x) u dx + (定数) より、
y = (1/u){ ∫Q(x) u dx + (定数) } となる。
完全微分が積の微分法則の逆利用から生じることを
忘れなければ、何をやっているかが掴み易いはず。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

Ae610

いきなり解された式を見せられたので一寸戸惑ってしまったが・・・、
(P(x)y-Q(x))dx+dy=0の原方程式は
dy/dx + P(x)y = Q(x)・・・(1)だと思う。

(1)の両辺にexp(∫P(x)dx)を乗じると
exp(∫P(x)dx){dy/dx + P(x)y} = exp(∫P(x)dx)・Q(x)
左辺 = exp(∫P(x)dx)・dy/dx + P(x)exp(∫P(x)dx)・y
= d/dx{y・exp(∫P(x)dx)}となる。
従って
d/dx{y・exp(∫P(x)dx)} = exp(∫P(x)dx)・Q(x)でexp(∫P(x)dx)・Q(x)はxの既知の関数となる。
従って両辺を積分すれば
y・exp(∫P(x)dx) = ∫{Q(x)・exp(∫P(x)dx)}dx + C
∴y = exp(-∫P(x)dx)・{∫{Q(x)・exp(∫P(x)dx)}dx + C}

お礼

ありがとうございます