中和滴定曲線を微分する為の式を教えてください！

質問

例えば中和滴定で0.1mol/l酢酸10mlを0.1mol/l水酸化ナトリウムで滴定した場合に画像のような曲線になりますが、この曲線を微分したら当量点が分かりやすい気がして試してみたいのですが、そもそも微分する式が思い浮かびません。

ｐHを求める式を微分することになるのでしょうか？だとすると、なんだかすごくややこしくなりそうな気がします。

実際に値が与えられていてｐHを求めるならば、例えば0.1mol/l酢酸２５ｍLを0.1mol/l水酸化ナトリウム５ｍlでしたら、

体積＝２５ml+5ml=30ml　で酢酸のモル＝(25/1000)x0.1なので2.5x10⁻³mol、水酸化ナトリウムのモルは、(5/1000)x0.1=0.0005mol

モル濃度は酢酸（2.5x10⁻³ー0.0005）/0.03＝0.0666 mol/L
水酸化ナトリウムは、0.0005/0.03＝0.01666

（酢酸の）Ka=1.8x10⁻⁵＝[H+][CH3COO-]/[CH3COOH]=[H+]x(0.0.1666)/(0.0666)なので、
[H+]=7.2x10⁻⁵

ｐH＝－log（7.2x10⁻⁵）＝4.14

ぐらいは分かるのですが、この一連の流れを微分するために中和滴定曲線を一つの式まとめるとどうなるのかちょっと混乱しています。

おそらく微分したら酢酸＆水酸化ナトリム１０mlずつの当量点で傾きがすごいことになる曲線を描く式ができるのだと思うのですが、微分する前の式が導き出せずにいます。　よろしくお願いします。

回答No.3

c80s3xxx · ベストアンサー

教科書だとこういう数学的な部分はすっとばしてるのが多いからなあ．
もうちょっと具体的に．一価の弱酸HAの濃度Caの溶液が体積Vあって，これを濃度Cbの一価の強塩基BOHで滴定する場合を考える．塩基の滴下量はvとし，体積の加成則を近似的に認めるものとする．
解離定数 Ka=[H+][A-]/[HA]
酸についてのマスバランス CaV/(V+v)=[HA]+[A-]
塩基についてのマスバランス Cbv/(V+v)=[B+]
チャージバランス [H+]+[B+]=[OH-]+[A-]
水のイオン積 [H+][OH-]=Kw
[ ]で表した変数が5つに対して式が5つあるので，これを連立させると[H+]以外の[ ]は消去できる．
これを実行すると，たとえばチャージバランスの式の各項に他の式の関係を片っ端からたたき込むと
[H+] + Cb v/(V+v) = Kw/[H+] +Ca Ka V / {(V+v)([H+]+Ka)}
みたいになるわけだ．手順はどうでもいい．[H+]以外の[ ]が消えればいい．
次にこれを v=の形に変形する．右辺は[H+]，Ka，Kw，Ca，Cb，Vだけで構成される式にならなければならない．これを実行すると，たとえば
v = {(Kw V + Ca V Ka) [H+] + Kw V Ka)} / ([H+]^2 + Cb[H+] - Kw)
のようになるわけだ (計算ミスってるかもしらんが)．
これを[H+]で微分する．これで dv/d[H+]が導ける．ただし，分数式の分母分子に[H+]の多項式が出てくるので面倒くさい．ここは数学で頑張ってくれ．
知りたいのは dpH/dv なので，dv/d[H+]からそこに変形する過程は最初に書いたとおりだ．

お礼

夜分遅くにありがとうございます。

感動しすぎておかしくなりそうです。　もう発狂寸前です。

うちの化学の先生が博士号持ってる割に、数学が苦手な人で質問しても分からないんですよ、それが匿名掲示板で疑問が解決できるなんて！！！

興奮しすぎて、ちょっと過呼吸気味になってしまって息が苦しくて倒れそうです。

まだ学生でお金を稼げていませんので、ビットコインでお礼できないことをお許しください。

本当にありがとうございました。

回答No.4

c80s3xxx

補足．
以上のやり方では，dpH/dvは「[H+]の関数」の形での記述になる．なのだが，これをvの関数の形に変形するのは超面倒．グラフにするなら，[H+]を媒介変数にしてvとdpH/dvを別々に求めてプロットするのが現実的だろう．
ちなみに，質問に出てるような画像のグラフは，滴定量ごとのpHを数値計算で方程式を解いて求めていて，その結果をずらっとプロットして作るのが一般的．関数を完全に記述しているわけではない．

お礼

本当にありがとうございました。このご恩は忘れません。

回答No.2

c80s3xxx

その考え方はまっとうで，微分曲線(縦軸がdpH/dV，横軸がV)とかも教科書によっては出てくる．ただ，その式を数学的に導出するのはかなりやっかい．
そもそも，[H+]を表す方程式は，酢酸の場合だと3次方程式になる．なので，pH=f(V) は普通に見かけるような関数型に変形することはほとんど無理である．
じゃあ，教科書とかにたまに出てくる微分型の滴定曲線はどうやってるのかというと，適当な教科書だと，だいたいこんな感じっていう雰囲気で描いている場合がひとつ(きっと大半がこれでは)．
もう一つは，数値微分で求めている場合．これならExcelでもできる．つまり，まずpHとVの関係を表す表を作る．このとき，VやpHの間隔が非常に細かくなるように作るわけだ．そして，dpH/dVは，隣接するデータを使ってΔpH/ΔVで代用して計算するわけだな．この計算結果をVに対してプロットすれば，微分曲線になるわけだ．
もし数学的にやるなら，逆関数の微分と合成関数の微分がヒントだ．Vを決めたときに[H+]を求めようとすると[H+]の3次方程式をとくことになるが，[H+]を決めたときにVを求めるのは1次方程式に帰結できる．ということはV=g([H+])のように考えるわけだ．そしてdV/d[H+] = 1/(d[H+]/dV)．そして，d(-log[H+])/dV=d(-log[H+])/d[H+] × d[H+]/dV．
g([H+])の導出が面倒だが，これこそがイオン平衡の本質的理解にはかかせない部分だ．解離平衡，マスバランス，チャージバランスの考え方で出てくる式を連立させれば導ける．

お礼

お忙しい中、お詳しいご回答をありがとうございます。　本当に助かります。

＞もし数学的にやるなら，逆関数の微分と合成関数の微分がヒントだ．

逆関数の微分も合成関数の微分も得意ではないけれど、分からなくはないのですが、これだけヒントをいただいても分かりません。

おそらくここで解説していただいたら大変お手数をおかけする事になりそうですので、せめてどういったタイトルの教科書/参考書を探せばいいのか教えてもらえないでしょうか？　

とても気になって夜も眠れない気分です。　よろしくお願い致します。

回答No.1

kaitara1

数学のカテのほうが回答が得られるのではと思いました。

お礼

はい、まずは化学カテで質問して、回答が付かなかったら数学カテで質問するつもりでした。

お気遣いどうもありがとうございます。