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一次元の箱モデルと不確定性原理についての質問
- 一次元の箱モデルにおける粒子のエネルギー処理と不確定性原理の関係についての質問です。
- 境界点を含む箱の外側のポテンシャルが変化した場合、粒子の運動やエネルギー処理にどのような影響があるかについての質問です。
- 三次元の箱モデルにおける粒子のエネルギー処理について、異なる形状の箱の場合の比較についての質問です。
- griffithxzb
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- 物理学
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(1) griffithxzbさんの不確定性関係の理解が少し曖昧なので，まずはそれを正確に理解した方がよいと思います． ある量子状態で物理量 O の期待値を <O> と表す事にすると， Δx = √( <x^2> - <x>^2 ), ---(A) Δp = √( <p^2> - <p>^2 ), ---(B) と期待値の分散を定義したときに，不確定性関係は Δx Δp ≧ h/(4π) ---(C) となります． 今 n=1 の状態 ψ(x) = √(2/a) sin(πx/a) に対して，式(A), (B) に出てくる期待値は， <x> = ∫[x=0, a] ψ(x)・x・ψ(x) dx <x^2> = ∫[x=0, a] ψ(x)・x^2・ψ(x) dx <p> = ∫[x=0, a] ψ(x)・( h/(2πi)・(∂/∂x) )・ψ(x) dx <p^2> = ∫[x=0, a] ψ(x)・( h/(2πi)・(∂/∂x) )^2・ψ(x) dx を地道に計算すれば分かります．それぞれ計算すると <x> = a/2 <x^2> = a^2( 1/3 - 1/(2π^2) ) <p> = 0 <p^2> = h^2/(4a^2) となります（確かめてください）．ですから，式(A), (B)に代入して Δx Δp = (h/2π) √( π^2/12 - 1/2) ≒ 1.135 (h/4π) となり，ほぼ( C)に近い結果が得られます． (2)おっしゃる通り，粒子は箱の外までしみ出していきます．そうすると，エネルギー順位に次のような変化がおきます． (i) 箱の高さVより小さなエネルギー Eを持つ状態，例えば n=1の状態（sin波）を考えると，波動関数が箱の外にしみ出す事ができるため，端で0でなくても良くなりますから，よりなだらかな波動関数になり，固有エネルギーは低下します． (ii) V より大きなエネルギーEを持つ状態は，もはや箱に束縛されなくなり，xが無限に遠いところでも波動関数は振幅を持つ状態（散乱状態）になり，エネルギー準位が連続的になります． (3) 考え方は１次元の時と全く一緒で，シュレーディンガー方程式 - ( h^2/(8π^2 m) )( (∂/∂x)^2 + (∂/∂y)^2 + (∂/∂z)^2 ) ψ(x, y, z) = E ψ(x, y, z) を，固定端の条件の下でとき，固有エネルギーを求めます．答えは，単純に１次元での答えをかけ算した形 ψ(x,y,z) = √(2/a) sin( lπx/a)・√(2/b) sin( mπy/b)・√(2/c) sin( nπz/c) E = h^2/(8*m)*(l^2/a^2 + m^2/b^2 + n^2/c^2) l, m, n = 1, 2, 3, … となります（この辺は教科書を参照するのが良いと思います）．ここで a, b, c は箱の各辺の長さです． a=b=cのときとそうでないときの大きな違いは，最低エネルギーを持つ状態の数（縮退度）です． それぞれの場合で，E が最も小さくなる l, m, n の数を数えてみてください．
お礼
とても丁寧なご解答をいただき、ありがとうございます！ よくわかりました！ 本当にありがとうございます！