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分かる限りで構わないのでお願いします。

分かる限りで構わないのでお願いします。 x^,p^を座標および運動量演算子とし、次のユニタリー演算子を定義する。 (x^はxの上に^があるイメージで) τ(a)=exp(-iap^/h) (aは実定数) 次の問いに答えて下さい。 (1)|x〉をx^の固有値xに属する規格化された固有状態とする; x^|x〉= x|x〉, 〈x|x’〉=δ(x-x’). 正準交換関数[x^,p^]=ihを用いて、τ(a)|x〉もまたx^の規格化された固有状態であることを示し、この固有値求めて下さい。 (2)前問の結果を用い、任意の状態|Ψ〉に対し、 〈x|p^|Ψ〉=-ih(∂/∂x)〈x|Ψ〉 が成り立つことを示して下さい。さらにこの結果を用いて、 p^|p〉=p|p〉、〈p|p’〉=δ(p-p’) で定義される規格化された運動量の固有状態|p〉に対し、その波動関数 Ψp(x)=〈x|p〉を求めて下さい。 (3)系が並進対称であるとき、ハミルトニアン演算子H^は空間並進演算子τ(a)によるユニタリー変換のもとで不変である τ(a)H^τ(a)^-1=H^ このとき「量子力学における運動量保存則」;(d/dt)〈p^〉=0,が成立することを示して下さい。ただし、〈p^〉=〈Ψ|p^|Ψ〉は状態|Ψ〉におけるp^の期待値である。

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  • yurih
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すいません No.1 補足です。 ポイントは、運動量演算子は、空間の微小並進を表すということです。 古典力学でも、ラグランジアンが空間の微小な並進で不変という条件から、運動量保存則が導かれます。(ネーターの定理とかで検索するとたぶんいろいろ出てくる) あと、(3)はSchrodingerの波動方程式を使っても示せます。 ヒントは〈p^〉=〈Ψ|p^|Ψ〉= ∫dx 〈Ψ|x〉〈x|p^|Ψ〉 (途中で部分積分すると、p^とH^の交換関係に持っていける。(2)をうまく使ってください。)

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  • yurih
  • ベストアンサー率40% (9/22)

(1) 正準交換関係を使うと、 x^exp(-iap^/h) = exp(-iap^/h)x^+a*exp(-iap^/h) (expを展開すると、(p^)^nの項が出てくるので、[x^,p^]=ihから[x^,(p^)^n]を求める) これを使うと、x^[τ(a)|x〉] = x^exp(-iap^/h)|x〉 = [exp(-iap^/h)x^+a*exp(-iap^/h)]|x〉 = (x+a)exp(-iap^/h)|x〉 よってexp(-iap^/h)|x〉のx^による固有値は、x+a 規格化されてることは、τ(a)がユニタリであることから自明。 (2) 前半:exp(-iap^/h)|x〉= |x+a〉に注意。 〈x|p^|Ψ〉は、〈x|[exp(-iap^/h)-1]/(-ia/h)|Ψ〉の、 a→0の極限と同じであることに気付けば、(1)より、 〈x|[exp(-iap^/h)-1]/(-ia/h)|Ψ〉= -ih[〈x+a|Ψ〉-〈x|Ψ〉]/aとなり、 a→0での極限値は、-ih(∂/∂x)〈x|Ψ〉となる。 後半:前半の結果から、〈x|p^|p〉= -ih(∂/∂x)〈x|p〉 また、左辺はp〈x|p〉なので、p〈x|p〉= -ih(∂/∂x)〈x|p〉となり、 この微分方程式を解けば、〈x|p〉= exp(ixp/h)となる。 (3) Heisenbergの運動方程式は、 ih(dp^/dt) = [p^,H^] 空間の並進対称性から、[p^,H^] = 0 (ちゃんと計算するとすると、τ(a)H^τ(a)^-1を展開してa→0の極限をとることで、p^とH^が交換することが分かる。) よってdp^/dt = 0 (運動量保存) 以上です。どこかで計算まちがってるかもしれないけど。

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