量子力学（自由粒子）の質問

質問

少し問題を解いていて詰まったところがあるので、どなたかお助けください。ちなみにこの手の計算に関してはまだ初心者です。
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自由粒子では、運動量pとエネルギーE=p^2/2m の交換関係が成り立っているので、運動量とエネルギーの同時固有状態 | α(t) > というものが存在することが分かります。

そこで、この固有関数（位置表示＋運動量表示）をブラケットを使いながら求めていきたいのですが、時間発展演算子を使って

| α(t) > = exp(-iHt/h) | α(0) > = exp(-iEt/h) | α(0) >

のようにまずしておきます。すると、固有関数は、

ψ(x,t) = < x | α(t)> = exp(-iEt/h)< x | α(0) >
= exp(-iEt/h) exp(iPx/h)

となります。最後の < x | α(0) > は、左が位置の固有状態、右が運動量の固有状態なので、位置と運動量の変換行列になっているということを使いました。

ここで質問なのですが、

< x | α(t)>

も左が位置の固有状態で右が運動量の固有状態であることは間違いないと思います。この場合は何故位置と運動量の交換行列が使えなくて、右の時間依存性を取ったもの | α(0) > では使えるのでしょうか？
（使える使えないうより、単にそういう風に計算すると普通に求めた固有関数と合うだけですが）

一応運動量表示の時もあやしいながら書いておきます。

ψ~(p,t) = < p | α(t)> = exp(-iEt/h)< p | α(0) >
= exp(-iEt/h)< p | α(0) >
= exp((-iEt/h) δ(p - P)

注）
・変数と区別するために t=0 のときの 運動量を P と書きました
・規格化定数書くとごちゃごちゃするので省きました
・こうすると、普通に計算したときの固有関数と合うのですが、何か間違えているかもしれないので、考え方に間違いがあればご指摘ください。

別の方法があればそれも教えていただきたいです。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>具体的に、「位相を適切に選んだ時」とは、どうのような条件でしょうか？
どのような条件って、<x|p>=exp(ipx)としか書きようがないんですが。。。

|a>を物理量Ａの固有値aの固有ベクトル,αを0でない複素数とした時、|a'>=α|a> も、Ａの固有値aの固有ベクトルですよね。つまり、このようなαという位相因子の分だけ、固有ベクトルの選び方には自由度が残るわけで、当然、変換行列にも自由度が残ります。
我々が固有ベクトル(など)を取ったときには、その自由度の中のどれか１つを選んだ事になります。
数ある選び方の中で、 < x | α(0) > = exp(ipx) となるように選んだから、この式が成り立つんですよ。でも、そう選んだからと言って、一般の時刻ｔで、< x | α(t) > = exp(ipx) となっている保証はないんです(実際、そうはなっていない)。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

eatern27

<x|p>=exp(ipx)となるのは、|x>,|p>の位相を適当に(上手く)選んだ時の話です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
具体的に、「位相を適切に選んだ時」とは、どうのような条件でしょうか？