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量子力学の期待値の問題です

波動関数φ(x)=C*exp(-x^2/2a^2)から不確定性関係を導く問題です。 運動量のp^2の期待値<p^2>の計算がわかりません <p^2>=∫φ(x)'*p^2*φ(x)    *φ'(x)は共役複素数 =|c|^2*(-ih) ∫(d^2/dx^2) exp(-x^2/a^2) dx =|c|^2*(-ih)*(4/a^4) ∫x^2* exp(-x^2/a^2) dx ここで |C|^2=1/a√π (規格化より求めた) ∫x^2* exp(-x^l2/a^2) dx=(a^3*√π)/2 を代入して <p^2>= -2ih    以上のようになったのですが、間違っている気がしてなりません。 間違いがあったらご指摘お願いします。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.1

p=ih/(2π)d/dx をそのまま入れてしまえばよいのです。 <p^2>=∫φ'(x)p^2φ(x)dx =∫φ'(x){-h^2/(2π)^2}d^2/dx^2φ(x)dx となります。 h^2となっていないこと(そうでないと次元が合わない)から間違いであることは明らか。 虚数単位iの2乗されるため-1になり残りません。 さらに質問者の式では微分演算d^2/dx^2が|φ(x)|^2にかかっています。 微分演算d^2/dx^2がかかるのはあくまでφ(x)だけですのでこれも間違い。このため係数も違います。 φ'(x)p^2φ(x)とp^2|φ(x)|^2は違うものなのです。φ'(x)p^2φ(x)=|pφ(x)|^2となります。pが(エルミート)演算子であることをお忘れなく。

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質問者からのお礼

位置の期待値と同じように解釈してました。 pは運動量演算子ですから、勝手に交換してはいけないんでした。 数学の基礎がきっちりしてないと量子力学は難しいですね;

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

#1です。 最後のところ修正。 >φ'(x)p^2φ(x)とp^2|φ(x)|^2は違うものなのです。φ'(x)p^2φ(x)=|pφ(x)|^2となります。pが(エルミート)演算子であることをお忘れなく。 後ろの式は積分したもので成り立つ関係です。積分する前から成り立つ式ではありません。 ブラ・ケットの記法を使うと <φ|p^2|φ>=<φ|p(p|φ>)={(p|φ>)†}(p|φ>) となります。(pがエルミート演算子であることを使用しています。) これを置き換えると ∫φ'(x)p^2φ(x)dx=∫(pφ(x))'*(pφ(x))dx=∫|pφ(x)|^2dx となるのです。

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質問者からのお礼

#1で変なお礼を書いてすみません。 運動量演算子はエルミート演算子でした。

質問者からの補足

ありがとうございます。エルミート演算子の扱い方の理解が足りなかったみたいです。 皆さんの回答を参考に計算しなおしてみたところ、 <p^2>=h^2/2a^2 (hはプランク定数を2πで割ったもの) となったのですが、合っていますでしょうか。 お時間があればよろしくお願いします。

  • 回答No.2

>=|c|^2*(-ih) ∫(d^2/dx^2) exp(-x^2/a^2) dx p^2なのとφ*は微分の後にかけることと、微分が間違っています p^* = (-ihd/dx)^2 = -h^2 d^2/dx^2 (hはプランク定数/2π) (d/dx) exp(-x^2/2a^2) = -2x/2a^2 exp(-x^2/2a^2) = -x/a^2 exp(-x^2/2a^2) (d/dx)^2 exp(-x^2/2a^2) = (d/dx) [-x/a^2 exp(-x^2/2a^2)] = [ -1/a^2 + x^2/a^4 ] exp(-x^2/2a^2)

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質問者からのお礼

積の微分をがっつりミスってました。 お恥ずかしい限りです。 丁寧に書いてもらってありがとうございます。

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