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量子力学の問題についての質問です

量子力学野問題について野質問です。 試験が近いのに解けなくて困っています。 どなたかお助け下さい。 以下問題です。 波動関数ψ(x,t)={1/(2π)^1/2}∫Φ(k)exp[i{kx-ω(k)t}]dk (積分範囲は-∞から∞です。) で与えられる自由粒子を考える。ただし、Φ(k)とω(k)はk野関数で、Φ(k)は Φ(k)=Aexp(-ka) (k≧0) , 0 (k<0) である。Aは規格化定数で、aは正の実定数である。以下の問に答えよ。 (1) ω(k)を求めよ (2) この粒子の運動量pをp>p0(ピーゼロ)に観測する確率を、p0,a,h-(エイチバー)を用いて表せ。ただし、p0>0とする。 です。 どなたかよろしくお願いいたします。

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Dirac定数h-はそのままhbarとかきます. (1)波動関数は平面波 u_k(x,t)=exp(i{kx-ω(k)t}) のkに関する重ね合わせになっています.自由粒子のシュレディンガー方程式 ihbar∂u_k/∂t={-hbar^2/(2m)}∂^2u_k/∂x^2 から hbarω(k)=(hbark)^2/(2m) ω(k)=hbark^2/(2m)(答) (2)波数kの自由平面波の運動量pは p=hbark です.波動関数を運動量pの積分として書き直すと ψ(x,t)=∫_{-∞}^∞{1/(√(2π)hbar)}Φ(k)exp(-iω(k)t)e^{ipx/(hbar)}dp ここで Ψ(p,t)={1/(√(2π)hbar)}Φ(k)exp(-iω(k)t) (p=hbark) とおくと ψ(x,t)=∫_{-∞}^∞Ψ(p,t)e^{ipx/(hbar)}dp 規格化されていれば運動量がp~p+dpにある確率は |Ψ(p,t)|^2dp なので求める確率Pは P=∫_{p_0}^∞|Ψ(p,t)|^2dp となります. まず,規格化定数Aを求めておきましょう. ∫_{-∞}^∞|Ψ(p,t)|^2dp=∫_{-∞}^∞|ψ(x,t)|^2dx=1 であるから ∫_0^∞{1/(2πhbar^2)}|A|^2e^{-2ka}dp=1 {1/(2πhbar^2)}|A|^2∫_0^∞e^{-2ka}hbardk=1 {1/(2πhbar)}|A|^2∫_0^∞e^{-2ka}dk=1 {1/(2πhbar)}|A|^2[e^{-2ka}/(-2a)]_0^∞=1 {1/(2πhbar)}|A|^2{1/(2a)}=1 |A|^2=4πahbar p≧p_0>0のとき Ψ(p,t)={1/(√(2π)hbar)}Ae^{-ka}exp(-iω(k)t) なので P=∫_{p_0}^∞{1/(2πhbar^2)}|A|^2e^{-2ka}dp =∫_{p_0/hbar}^∞(2a/hbar)e^{-2ka}hbardk =∫_{p_0/hbar}^∞2ae^{-2ka}dk =[-e^{-2ka}]_{p_0/hbar}^∞ P=e^{-2p_0a/hbar} (答)

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