量子力学の問題についての質問です

質問

量子力学野問題について野質問です。

試験が近いのに解けなくて困っています。

どなたかお助け下さい。

以下問題です。

波動関数ψ(x,t)={1/(2π)^1/2}∫Φ(k)exp[i{kx-ω(k)t}]dk （積分範囲は-∞から∞です。）
で与えられる自由粒子を考える。ただし、Φ(k)とω(k)はk野関数で、Φ(k)は
Φ(k)=Aexp(-ka) (k≧0) , 0 (k＜0)
である。Aは規格化定数で、aは正の実定数である。以下の問に答えよ。
（１）　ω（ｋ）を求めよ
（２）　この粒子の運動量ｐをｐ＞ｐ0（ピーゼロ）に観測する確率を、p0,a,h-(エイチバー）を用いて表せ。ただし、p0＞0とする。

です。

どなたかよろしくお願いいたします。

回答No.1

ereserve67

Dirac定数h-はそのままhbarとかきます．

（１）波動関数は平面波

u_k(x,t)=exp(i{kx-ω(k)t})

のkに関する重ね合わせになっています．自由粒子のシュレディンガー方程式

iｈbar∂u_k/∂t={-hbar^2/(2m)}∂^2u_k/∂x^2

から

hbarω(k)=(hbark)^2/(2m)

ω(k)=hbark^2/(2m)（答）

（２）波数kの自由平面波の運動量pは

p=hbark

です．波動関数を運動量pの積分として書き直すと

ψ(x,t)=∫_{-∞}^∞{1/(√(2π)hbar)}Φ(k)exp(-iω(k)t)e^{ipx/(hbar)}dp

ここで

Ψ(p,t)={1/(√(2π)hbar)}Φ(k)exp(-iω(k)t) (p=hbark)

とおくと

ψ(x,t)=∫_{-∞}^∞Ψ(p,t)e^{ipx/(hbar)}dp

規格化されていれば運動量がp～p+dpにある確率は

|Ψ(p,t)|^2dp

なので求める確率Pは

P=∫_{p_0}^∞|Ψ(p,t)|^2dp

となります．

まず，規格化定数Aを求めておきましょう．

∫_{-∞}^∞|Ψ(p,t)|^2dp=∫_{-∞}^∞|ψ(x,t)|^2dx=1

であるから

∫_0^∞{1/(2πhbar^2)}|A|^2e^{-2ka}dp=1

{1/(2πhbar^2)}|A|^2∫_0^∞e^{-2ka}hbardk=1

{1/(2πhbar)}|A|^2∫_0^∞e^{-2ka}dk=1

{1/(2πhbar)}|A|^2[e^{-2ka}/(-2a)]_0^∞=1

{1/(2πhbar)}|A|^2{1/(2a)}=1

|A|^2=4πahbar

p≧p_0>0のとき

Ψ(p,t)={1/(√(2π)hbar)}Ae^{-ka}exp(-iω(k)t)

なので

P=∫_{p_0}^∞{1/(2πhbar^2)}|A|^2e^{-2ka}dp

=∫_{p_0/hbar}^∞(2a/hbar)e^{-2ka}hbardk

=∫_{p_0/hbar}^∞2ae^{-2ka}dk

=[-e^{-2ka}]_{p_0/hbar}^∞

P=e^{-2p_0a/hbar}　（答）