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幾何学について質問です。
（１）X,Yが位相空間、ｆ、ｆ’；X→Yが連続写像であるとする。 A⊂XでAの閉包＝X（Fが閉集合でA⊂FのときF=X)かつ、すべての ａ∈Ａでｆ（ａ）＝ｆ’（ａ）が成立する。 i）ｙが（T_2）のとき,f=f'を示せ。 ii）ｙが（Ｔ_2）でないときはどうか。 （２） Ｇが位相群で（Ｔ_1）を満たすときＧは（Ｔ_2）であることを示せ。 です。助けてください。お願いします。
- jenny55555555
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- muturajcp
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(1) i) Yが(T_2)ハウスドルフ空間のとき、 f≠f'と仮定すると f(x)≠f'(x)となるx∈Xが存在する Yが(T_2)だから U∩V=φ,f(x)∈U開⊂Y,f'(x)∈V開⊂Y となるU,Vが存在する f,f'連続だから f^{-1}(U)開⊂X,f'^{-1}(V)開⊂X, x∈f^{-1}(U)∩f'^{-1}(V)開⊂X=cl(A) f^{-1}(U)∩f'^{-1}(V)∩A≠φ だから a∈f^{-1}(U)∩f'^{-1}(V)∩A となるaが存在する f(a)=f'(a)∈U∩V となって,U∩V=φに矛盾するから ∴ f=f' ii) N=(全自然数) A=(1/n)_{n∈N} X=A∪{0} Y={0,1} Yの位相を密着位相DY={Y,φ} f:X→Y,x∈X→f(x)=1 f';X→Y,x∈A→f'(x)=1,f'(0)=0 とすると f,f'連続 Yは(T_2)でない f≠f' (2) a∈G,b∈G,a≠bとすると a^{-1}b≠1 Gは(T_1)だから a^{-1}b∈W開⊂G,1∈G-WとなるWが存在する 積,逆演算連続だから a∈U開⊂G,b∈V開⊂G (x,y)∈U×V→x^{-1}y∈W となるU,Vが存在する z∈U∩Vとすると(z,z)∈U×V→1=z^{-1}z∈W となって1∈G-Wに矛盾するから U∩V=φ ∴ Gは(T_2)ハウスドルフ空間である
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