幾何学について質問です。

質問

（１）X,Yが位相空間、ｆ、ｆ’；X→Yが連続写像であるとする。
A⊂XでAの閉包＝X（Fが閉集合でA⊂FのときF=X)かつ、すべての
ａ∈Ａでｆ（ａ）＝ｆ’（ａ）が成立する。

i）ｙが（T_2）のとき,f=f'を示せ。
ii）ｙが（Ｔ_2）でないときはどうか。

（２） Ｇが位相群で（Ｔ_1）を満たすときＧは（Ｔ_2）であることを示せ。

です。助けてください。お願いします。

回答No.1

muturajcp

(1)
i)
Yが(T_2)ハウスドルフ空間のとき、
f≠f'と仮定すると
f(x)≠f'(x)となるx∈Xが存在する
Yが(T_2)だから
U∩V=φ,f(x)∈U開⊂Y,f'(x)∈V開⊂Y
となるU,Vが存在する
f,f'連続だから
f^{-1}(U)開⊂X,f'^{-1}(V)開⊂X,
x∈f^{-1}(U)∩f'^{-1}(V)開⊂X=cl(A)
f^{-1}(U)∩f'^{-1}(V)∩A≠φ
だから
a∈f^{-1}(U)∩f'^{-1}(V)∩A
となるaが存在する
f(a)=f'(a)∈U∩V
となって,U∩V=φに矛盾するから
∴
f=f'

ii)
N=(全自然数)
A=(1/n)_{n∈N}
X=A∪{0}
Y={0,1}
Yの位相を密着位相DY={Y,φ}
f:X→Y,x∈X→f(x)=1
f';X→Y,x∈A→f'(x)=1,f'(0)=0
とすると
f,f'連続
Yは(T_2)でない
f≠f'

(2)
a∈G,b∈G,a≠bとすると
a^{-1}b≠1
Gは(T_1)だから
a^{-1}b∈W開⊂G,1∈G-WとなるWが存在する
積,逆演算連続だから
a∈U開⊂G,b∈V開⊂G
(x,y)∈U×V→x^{-1}y∈W
となるU,Vが存在する
z∈U∩Vとすると(z,z)∈U×V→1=z^{-1}z∈W
となって1∈G-Wに矛盾するから
U∩V=φ
∴
Gは(T_2)ハウスドルフ空間である