10^nの正の約数を小さい順に並べ、a1 a2,,,,,,,aｆ(n)

質問

10^nの正の約数を小さい順に並べ、a1 a2,,,,,,,aｆ(n)とします。これらの約数の10を底数とする対数をとり、さらにそれらの和を計算したとき、2010を超えるのは、nがいくつのときでしょうか

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

10^n=2^n*5^n
なので、10^nの約数は、
2^i*5^j　（i=0,1,2,・・・,n、j=0,1,2,・・・,n）

それら約数の対数の和Sは、
S=Σ[i=0～n]Σ[j=0～n]log(2^i*5^j)
=Σ[i=0～n]Σ[j=0～n]{i*log2+j*log5)}
=(Σ[i=0～n]Σ[j=0～n]i*log2)+(Σ[i=0～n]Σ[j=0～n]j*log5)
=(n(n+1)^2*log2/2)+(n(n+1)^2*log5/2)
=n(n+1)^2(log2+log5)/2
=n(n+1)^2/2

n=15のとき、S=1920
n=16のとき、S=2312
より、求めるnは
n=16

お礼

教えていただきありがとうございました。