不思議な数学 気にしたら負け？

質問

0.999999999999...＝X　
両辺100倍
99.9999999999....=100x

　99.99999999...=100x
-) 0.99999999...=x
99 =99x
1 =x　・・・(゜Д゜)
なんだこれは？ｗ

回答No.14

gootaroh

「0.99999・・・」と「1」、あるいは「99.99999・・・」と「100」など、小数点以下がオールナインで無限に続くものと次の整数は、「数字」は違いますが、「数値」としては100％、完全完璧に同一です。

なぜなら、「0.99999・・・」と「1」の間に差がない（正確にいえば「差を指摘できない」）ですからね。「1－0.99999・・・」を計算すると、「0.00000・・・」とどこまでも「0」が続きますから。

「そんなことを言っても、ちょっとぐらい差があるのでは？」と考えてしまう人は、「0.00000・・・」のいつか最後に「1」が出てくるはず、と思っているのと同じことです。「無限」ですから「最後」はないのです。

差を指摘できない以上、同じ「数値」として扱うべきです。要するに、「数値」としては同じだけど、「表現の仕方が異なる」だけなんですよね。

・・・とはいえ、
「1/3＝0.33333・・・」なので、両辺を3倍すると「1＝0.99999・・・」。
だから「0.33333・・・の3倍」は「1」。というのには若干の違和感は持っています。

だって、小学2年生で習った九九にもあるように、「さざんがきゅう」ですから、「数値」はともかく、個人的には「0.33333・・・」の3倍は「1」よりも「0.99999・・・」と「表記」するのがふさわしいと思います。

もちろん「A＝B＝C」であれば「A＝C」ですので、「1」と「表記」してももちろん正しいのですので、あくまで個人的な「違和感」というレベルの話です。
数学的には完璧に「1」と等しいということに異論はありませんが、ご参考まで。

回答No.13

First_Noel

＃６，＃８です．
みなさまのご回答を拝見して一晩調べたり考えたり過ごしましたが，
特に＃１１さまの後半のご説明により溜飲が下げられた次第です．
関連して，
ε－δ，コーシー列，稠密・・・など，久し振りの用語などにも出遭えたことは感謝です．

と言うことで，私の回答はどうぞ「無視」でお願い致します．＜（＿＿）＞

回答No.12

arrysthmia

A No.11 の方も書いておられますが、
1 = 0.999… を不思議だと思う感覚は、
数と数字をゴッチャにすることから生じるのだと思います。

「1」「0.999…」「1.0」「1.00」「1.000」「1.000…」
これらは、数字の並びとしては、それぞれ異なる文字列ですが、
皆、同じ数を表しています。

「3」と「1+2」と「12/4」が同じ数を表していることを
不思議に思わないのならば、
「1」と「0.999…」が同じ数を表していることを
不思議に思うのでは、一貫性がありません。

小数表記は、万能ではありません。
比較的少ない桁数の有限小数を表すのには、ちょっと便利ですが、
無理数をきちんと表すことはできないし、
循環小数を表すのにも、何らかの拡張表記が必要になります。

循環する部分の両端の桁の真上に小さな点を打つ
というのも、そのような拡張表記のひとつ。
循環する部分を何個か繰り返し書いた後に「…」をつけておく
というのも、また別の拡張表記です。

この「…」を使った拡張表記は、循環小数とは馴染みがよく、
「0.333…」「0.121212…」のように
ちゃんと無限に循環する小数は、唯一通りに書き表すことができますが、

たまたま有限桁で書き終わってしまうような、風変わりな小数に対しては、
「0.184000…」＝「0.183999…」のように
２通りの書き方が生じてしまいます。

この風変わりな小数を「有限小数」と呼びます。
自然数も、有限小数の一種（小数点以下０桁のもの）です。

回答No.11

kabaokaba

気にしたら負けかというと，
むしろ気がついた方が勝ちのような気がします．
受験とかにはあんまり関係ないでしょうけども，
そういうところに気がつくのはいいことだと思います．
＃このあたりの「嫌らしさ」が19世紀末から20世紀前半の
＃数学の発展の原動力の一個なのは間違いないですから．

まあ，一応つっこみ．
> ０．９９９９・・・・・＝１，と書かれている方もいらっしゃいますが，
> 数学的にはこれは間違いです．両者は厳密に違う数値を表しています．

「間違い」という指摘そのものが間違いです．
理由はNo.10さんの仰るとおり．

数学的には「二つの数aとbが等しい」というのは
どんな正の数εをとっても
|a-b|<ε
とできるということになります．
どんな正の数εをとってきても
「1-0.9999999.....」はε未満にできますから，同じ数です．

これは「数」というものと「その表記方法」が
ごっちゃになってるだけが原因です．
同じ実体であっても表記法は複数あるのです．
通常「1」と10進で表記される数は
0.99999999.........とも表記することができるということであり
1.1=1.0999999999.....だし，0.3=0.2229999999......でもあるのです．

こういうのがあるのも一つの原因だとは思いますが，
数学ではあんまり小数表示はしないですよね．
答えが1/3の問題で
わざわざ0.33333333.......とかは書かないですもんね．

ちなみに
>０≦ｘ≦１と言う閉集合と，０≦ｘ＜１と言う開集合では，
閉集合・開集合というのは数学の文脈では
定義が確立された厳密な数学用語であり
その意味で前者は閉集合ですが，後者は開集合ではありません．

主張されんことは分かっている人間からみればわかりますが，
そもそも0.999.....は0<=x<1には入りません．
＃たぶん，「1は0<=x<=1に含まれ，0<=x<1には含まれず，
＃0.99999...は0<=x<=1に含まれ，0<=x<1にも含まれている．
＃したがって，1と0.9999...は異なる」と
＃主張されているのだと解釈しています．
なぜなら，0.9999....がもし，1未満であるならば
0.999.....と1の間に数 a が存在する（例えば，0.999...と1の平均）．
つまり，0.9999.... < a < 1 となる．
ここでaを小数で表記したとする．その小数表示には
かならず9以外の数が現われる
（もし現われないならばそれはa=0.999...を意味するので）．
9以外の最初の数をXとおき
a=0.99..99X.....と書く．
このとき，明らかにa<0.99999999.....である．矛盾．

>ｌｉｍ（１－１／ｎ）でｎ→∞としたとき，これは＝１が答えになりますが，
>実際にはｎ→∞となって，答えは限りなく１に近付く，と言うことを表した数式に過ぎず，

これも「lim」の記号の意味が異なります．
微妙な話題であるにも関わらず主語などが不明確になっています．
lim_{n→∞}(1-(1/n)) というのは
1-(1/n)で，nをどんどんどんどん大きくしていった場合に
ある特定の値に近づくのであれば，その値を
lim_{n→∞}(1-(1/n)) と書くことにしよう，
ということであって，
lim_{n→∞}(1-(1/n)) = 1 は厳密に成立するものです．
しかし，
1-(1/n)の挙動そのものはn→∞としたときに
1にはならないが1にいくらでも近づくということになります．

回答No.10

phusike

podpodxtさんがここまでの回答を求められているかは分かりませんが、
他にも閲覧される方がいらっしゃると思いますので書いておきますと、
0.999...は極限操作ではなく、極限の値そのものというのが普通の解釈です。
即ち、 0.999 = Σ[n=1,∞] 9/(10^n) と解釈されるのが普通です。
これを計算した値は厳密に1となります。

さらに追記しておきますと、閉集合でなければ、数列は一般に極限操作に対して閉じていません。
つまり、 Σ[n=1,N] 9/(10^n) ∈ [0,1) ですが、
Σ[n=1,∞] ∈ [0,1) である必要はありません。

再度参考URLを提示しておきます。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

回答No.9

c-beginer

数学の奥深さとでもいいましょうか？
楽しさのひとつですね。
負けではないでしょう、むしろ勝ちです（笑）。
何の根拠のない自論になりますが、
終わりの見えない数字（無理数）を計算した結果だと思います。

P.S.
こんなのもありますよ。
1/3=0.33333…
と永遠に3が続くはずですが、
両辺に3をかけると
1=0.999999…？？？！！！
ってなります。

回答No.8

First_Noel

＃６です．

０．９９９９・・・・・＝１，と書かれている方もいらっしゃいますが，
数学的にはこれは間違いです．両者は厳密に違う数値を表しています．

なぜなら，例を挙げると，
０≦ｘ≦１と言う閉集合と，０≦ｘ＜１と言う開集合では，
１を含むか含まないかが異なります．

ｌｉｍ（１－１／ｎ）でｎ→∞としたとき，これは＝１が答えになりますが，
実際にはｎ→∞となって，答えは限りなく１に近付く，と言うことを表した数式に過ぎず，
決して厳密に「１」になる訳ではありません．

回答No.7

sanori

こんばんは。

よく見かける質問ですね。

１＝０．９９９９９９・・・・・
は正しいです。

ここのサイトで、１＝０．９９９　というキーワードで検索すると、たくさん出てきますよ。
http://oshiete.goo.ne.jp/search/search.php?status=select&MT=1%A1%E10%A1%A5999&nsMT=&ct_select=0&ct0=&ct1=&ct2=

初心者でも分かりやすいのは、
１÷３　＝　０．３３３・・・
０．９９９・・・・・　÷３　＝　０．３３３・・・

極限で説明することもできます。

０．９、０．０９、０．０９、０．００９・・・
　＝　９（０．１＋０．０１＋０．００１＋・・・）
　＝　９（０．１^1＋０．１^2＋０．１^3＋・・・）

ｎ項めまでの和Ｓ（ｎ）は、
Ｓ（ｎ）　＝　９（０．１^1＋０．１^2＋０．１^3＋・・・＋０．１^(n-2)＋０．１^(n-1)＋０．１^n）

ためしに、これを考える
Ｓ（ｎ）×１０　＝　９（１＋０．１^1＋０．１^2・・・＋０．１^(n-3)＋０．１^(n-2)＋０．１^(n-1)）

すると、
Ｓ（ｎ）×９　＝　Ｓ（ｎ）×１０　－　Ｓ（ｎ）
　＝　９（０．１^1＋０．１^2＋０．１^3＋・・・＋０．１^(n-2)＋０．１^(n-1)＋０．１^(n)）　－　９（１＋０．１^1＋０．１^2・・・＋０．１^(n-3)＋０．１^(n-2)＋０．１^(n-1)）
　＝　９（１　－　０．１^n）
つまり、
Ｓ（ｎ）×９　＝　９（１　－　０．１^n）
よって、
Ｓ（ｎ）　＝　１－０．１^n
ということがわかりました。

たとえば、
Ｓ（３）＝０．９９９
Ｓ（１０）＝０．９９９９９９９９９９
です。
つまり、ｎは小数点以下の「９」の個数です。

０．９９９９９９・・・・
　＝　lim ｎ→∞ Ｓ（ｎ）　＝　lim ｎ→∞（１－０．１^n）
　＝　１

回答No.6

First_Noel

これはですね，「無限」とか「極限」とか言う，数学ではとても厳密なものを，
言葉又は無限小数の略記によって曖昧にすることによって生じるトリックです．

要するに，
１００ｘ＝９９．９９９９９・・・・
　　　ｘ＝　０．９９９９９・・・・
と書いて，一見，小数点以下が一致しているように見せているだけです．

実際は，無限の彼方まで「９」の字がギューン！とどんどん連なって増えていると考えて下さい，
そして，１００ｘとｘとでは少しだけ先頭の位置がずれている，
だから，筆算で書いた９９．９９９９－０．９９９９は９９ではなく，
無限に続く少数である，と言う解釈です．

回答No.5

ertyerty3

1=0.999999999・・・

そういうことなのです。

(1/3)×３＝１は納得できるでしょう。
でも、
1/3＝0.333333333・・・とすると、
上と同じような計算をすると
0.333333333・・・×３＝0.99999999・・・です。
そういうことなのです。