数学１の問題です。

質問

いつもお世話になっています。

数学１の問題で、わからないところがあるので教えていただいてよろしいでしょうか？
アホでもわかるようにお願いしたいのですが・・・。

X＝２分の３－√１７のとき、X＾３ー２X^2ー３Xー３の値を求めよ。

という問題です。

X=２分の３－√１７の両辺に２をかけて、両辺を二乗すると、４X^2ー１２X＋９＝１７
になり、４X^2ー１２Xー８＝０より、X＾２ー３Xー２＝０になる。

ここまでは分かりました。

これ以降がわかりません。

（X＾３ー２X^2ー３Xー３）÷（X＾２ー３Xー２）＝（X＋１）・・・２Xー１

したがってX＾３ー２X^2ー３Xー３＝（X＋１）（X＾２ー３Xー２）＋２Xー１

X＾２ー３Xー２＝０より　　２Xー１にX＝２分の３－√１７を代入して

２×２分の３－√１７ー１＝２ー√１７

答え　２ー√１７

なにをやってるのかさっぱりわかりません。

なぜ割ったのか、（X+１）・・・２Xー１はどうやって出したのか、これ以降もわかりません。

アホで申し訳ないですが、解けるようになりたいので、わかりやすく教えていただけませんでしょうか？

おねがいします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

x = (3 － √17) / 2
のように書いてくださると、分母・分子を誤解しなくてすみます。

さて、このxの値をx^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3の式に直接代入してもいいんですが、
3乗の計算とかがあって煩雑になりそうです。
そこで、x = (3 － √17) / 2 の値から、
2x = 3 － √17
2x － 3 = －√17
4x^2 － 12x + 9 = 17
4x^2 － 12x － 8 = 0
x^2 － 3x － 2 = 0
という式を導きます。
こうすることで、x = (3 － √17) / 2 は、x^2 － 3x － 2 = 0
を満たしていることがわかります。

x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 を x^2 － 3x － 2
で割っているのは、
x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 = (x^2 － 3x － 2)・Q(x) + R(x)
の形（商：Q(x)、あまり：R(x)）に変形できたとすると、
先ほど計算したとおり、x^2 － 3x － 2 = 0
ですから、(x^2 － 3x － 2)・Q(x) の部分が 0 となり、結果として、
x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 の値は、割り算のあまりであるR(x)に等しくなる、
ということです。
3次式であるx^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 を、2次式であるx^2 － 3x － 2
で割ったあまりは1次式となります。
3次式の値を計算するより、1次式の値を計算する方がはるかに楽ですよね。

お礼

早い回答ありがとうございます！

x = (3 － √17) / 2のように書けばよかったですね。誤解しやすい書き方で申し訳ないです。

＞次式であるx^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 を、2次式であるx^2 － 3x － 2
で割ったあまりは1次式となります。
3次式の値を計算するより、1次式の値を計算する方がはるかに楽ですよね。

その通りです。３次式で計算して途中であきらめました。

＞x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 を x^2 － 3x － 2
で割っているのは、
x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 = (x^2 － 3x － 2)・Q(x) + R(x)
の形（商：Q(x)、あまり：R(x)）に変形できたとすると、
先ほど計算したとおり、x^2 － 3x － 2 = 0
ですから、(x^2 － 3x － 2)・Q(x) の部分が 0 となり、結果として、
x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 の値は、割り算のあまりであるR(x)に等しくなる

割る理由は、そういうことなんですね。
納得です。QとかRとか出てきて驚きましたが、わかりました。

今聞けてよかったです！どうもありがとうございます！

回答No.6

MarcoRossiItaly

寄せられた全ての回答をご参考になさってください。どれもこれも、大事な基本です。私からは、補足の情報のみ。既に良い回答が出ていますので、ベストアンサーは辞退します。

この式変形については、「剰余の定理」というキーワードで検索してみてください。数Iの教科書にも必ず載っているはずですので、まずはそちらから読まれるとよいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます！

おっしゃる通りです・・・。

基本ができていないので、解けないのです。

まずは、もっと教科書を読むべきでした。

ご指摘ありがとうございました。

回答No.5

bgm38489

例えば、１７÷５＝３余りを考えましょう。これは、１７＝５×３＋２になるのはわかりますね？
式の割り算の場合、普通の割り算の筆算みたいにして、計算します。
x +1
x^2-3x-2 ) x^3-2x^2-3x-3
x^3-3x^2-2x
x^2- x-3
x^2- 3x-2
2x-1
といった具合です。3乗を千の桁、2乗を百の桁とミリようなものですね。
X＾３ー２X^2ー３Xー３＝（X＋１）（X＾２ー３Xー２）＋２Xー１となったのですかが、これは、ｘ＝…のときは（どういう式か読み取りづらいですが）、ｘ＾２－３ｘ－２＝０なわけですから、式の掛け算の部分は０となり、２ｘ－１の部分だけが残る、というわけです。だから、そこだけにｘを代入して求めれば、よいとなります。

簡単な例を挙げると、ｘ＝３の時、ｘ＾２－６ｘ＋１０の値を求めよ、と言われたら、
ｘ－３＝０なわけですから、与式＝（ｘ－３）＾２＋１として、答えは１と求まるわけです。そのものにｘを代入しても１になりますね。

お礼

回答ありがとうございます！返事が遅れてしまって申し訳ありません。

いろんな解き方があるのですね。

普通の割り算の筆算のように計算したらいいのですね。

どうもありがとうございます！

回答No.4

asuncion

(x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3) ÷ (x^2 － 3x － 2)
の計算の話をします。
まず、割られる方の最高次 x^3 と割る方の最高次 x^2 とを比べます。
そうすると、商として x^3 ÷ x^2 = x が立ちます（※1）。
この x を、割る方の全体である x^2 － 3x － 2 とかけます。
x(x^2 － 3x － 2)=x^3 － 3x^2 － 2x …… (1)
となります。
割る方全体から(1)式の右辺を引きます。
(x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3) － (x^3 － 3x^2 － 2x)
=x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3 － x^3 + 3x^2 + 2x
=x^2 － x － 3 …… (2)
この式の最高次 x^2 と割る方の最高次 x^2 とを比べます。
そうすると、商として x^2 ÷ x^2 = 1 が立ちます（※2）。
この 1 を、割る方の全体である x^2 － 3x － 2 とかけます。
1(x^2 － 3x － 2)=x^2 － 3x － 2 …… (3)
となります。
(2)式から(3)式を引きます。
(x^2 － x － 3) － (x^2 － 3x － 2)
=x^2 － x － 3 － x^2 + 3x + 2
=2x － 1
あまりが1次式になりましたので、2次式では割ることができません。
よって、商全体は※1と※2の和である x + 1で、あまりは2x － 1
となります。

お礼

回答ありがとうございます！お礼が遅れてすいません。時間経つの早くて（言い訳です。すいません）

＞(x^3 ー 2x^2 ー 3x ー 3) ÷ (x^2 － 3x － 2)
の計算の話をします

待ってました。皆様せっかく回答をくださっているのに、そこがわからなくて・・・。

こんな方法があったのか！！というくらい感激です。

少しずつ次数を下げていくのですね。
これなら私でも！

どうもありがとうございます！

回答No.3

ereserve67

>なぜ割ったのか

多項式A(x)を多項式B(x)(≠0)で割った時，その商Q(x)とあまりR(x)（R(x)=0またはB(x)の次数より小）について次の等式が成り立ちます．

A(x)=B(x)Q(x)+R(x)

この等式を利用するためです．

>x+1・・・2x-1はどうやって出したのか

多項式の割り算の具体的なやり方は整数の割り算で位を次数に対応させてやれば同様にできます．ここでは地道な式変形でやってみましょう．

x^3-2x^2-3x-3=(x^2-3x-2)x+x^2-x-3=(x^2-3x-2)x+(x^2-3x-2)+2x-1=(x^2-3x-2)(x+1)+2x-1

A(x)=x^3-2x^2-3x-3,B(x)=x^2-3x-2,Q(x)=x+1,R(x)=2x-1とこくと，この式は

A(x)=B(x)Q(x)+R(x)

となっています．さて，求めるものはA(3/2-√17)であるのでこの式でx=3/2-√17とします．このとき

B(3/2-√17)=0

であることを考えると，（だからこの式でA(x)でわったのです！)

A(3/2-√17)=B(3/2-√17)Q(3/2-√17)+R(3/2-√17)=R(3/2-√17)=2(3/2-√17)-1=2-2√17

答えはこうではないですか．

お礼

回答ありがとうございます！

>＞なぜ割ったのか

＞多項式A(x)を多項式B(x)(≠0)で割った時，その商Q(x)とあまりR(x)（R(x)=0またはB(x)の次数より小）について次の等式が成り立ちます．

A(x)=B(x)Q(x)+R(x)

この等式を利用するためです．

知らなかったです。なるほど・・・。勉強になりました！
噛み砕いて考えたらわかりやすいですね。
見た目に驚きました。

>＞x+1・・・2x-1はどうやって出したのか

時間がかかりましたがなんとか・・・。

後半、もっと時間かけて考えます。

長文で教えてくださってありがとうございました！

そっけないお礼ですいません。

回答No.2

yyssaa

＞
x=(3-√17)/2
2x-3=-√17、両辺二乗して
4x^2-12x+9=17
4x^2-12x-8=0
x^2-3x-2=0・・・(1)
x^3-2x^2-3x-3を(1)の左辺で割ると商がx+1で余りが2x-1
よってx^3-2x^2-3x-3=(x^2-3x-2)*(x+1)+(2x-1)
(1)でx^2-3x-2=0ですから
x^3-2x^2-3x-3=2x-1
右辺にx=(3-√17)/2を代入して
x^3-2x^2-3x-3=(3-√17)-1=2-√17になります。

お礼

回答ありがとうございます！

＞x^3-2x^2-3x-3を(1)の左辺で割ると商がx+1で余りが2x-1

この段階にも行ってないアホですが、「商がx+1で余りが2x-1」だとして、

＞x^3-2x^2-3x-3=(x^2-3x-2)*(x+1)+(2x-1)
(1)でx^2-3x-2=0ですから
x^3-2x^2-3x-3=2x-1
右辺にx=(3-√17)/2を代入して
x^3-2x^2-3x-3=(3-√17)-1=2-√17になります。

はわかりました！親切に答えていただきましてありがとうございます！