数学の問題：sinθ‐cosθ=１/3の時のsin^3θ-cos^3θの値を求める
- 数学の問題について質問です。sinθ‐cosθ=１/3の時のsin^3θ-cos^3θの値を求めたいです。
- 問題の解法として、sinθ‐cosθ=１/3の両辺を２乗することから始めます。そして、sin^3θ-cos^3θの式を展開して値を求めます。
- しかし、求めた答えは間違っているようです。どこが間違っているのか教えていただけませんか？
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数学について質問です。
数学について質問です。 0°≦θ≦90° sinθ‐cosθ=１/3の時、sin^3θ-cos^3θの値を求める。 まず、sinθ‐cosθ=１/3の両辺２乗する。 すると、sinθ・cosθ=4/9になる。 sin^3θ-cos^3θ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sin^2θ・cosθ+3sinθ・cos^2 ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sinθ・cosθ(sinθ‐cosθ) 代入して ＝1/27-3・4/9・1/3 ＝1/27-4/9 ＝-11/27 これって、あってますか？ 答えは、違ってました。 そして何が違っているのかわかりません。 本当に申し訳ないのですが、教えていただけないでしょうか？
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sin^3θ-cos^3θ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sin^2θ・cosθ+3sinθ・cos^2 これが間違い。 （sinθ‐cosθ)^3＝sin^3θ-3sin^2θ・cosθ+3sinθ・cos^2-cos^3θ これと混同しているのかな？ sin^3θ-cos^3θ＝（sinθ‐cosθ)^3+3sin^2θ・cosθ-3sinθ・cos^2 ＝（sinθ‐cosθ)^3+3sinθ・cosθ(sinθ‐cosθ) 代入して ＝1/27+3・4/9・1/3 ＝1/27+4/9 ＝13/27
その他の回答 (5)
- tomokoich
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スミマセン sin＾3θ-cos＾3θの展開プラスとマイナス違ってました。 他の方の通りです
お礼
問題ないです。 助言ありがとうございました。
- tomokoich
- ベストアンサー率51% (538/1043)
式の変形をsin＾3θ-cos＾3θ=(sinθ+cosθ)(sin＾2θ-sinθcosθ+cos＾2θ) としてやってみればいかがでしょう。 sinθ＋cosθの値はθの条件と (sinθ＋cosθ）＾2=1+2sinθcosθから出ると思います。
お礼
回答ありがとうございます。 とても助かりました。 確かに、この分解のほうが速そうです。 ありがとうございました。
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
多分 sin^3θ-cos^3θ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sin^2θ・cosθ+3sinθ・cos^2 ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sinθ・cosθ(sinθ‐cosθ) あたりが間違っているのでしょう. sin^3θ-cos^3θ=(sinθ‐cosθ)(sin^2θ+sinθ・cosθ+cos^2θ) =(1/3)(1+4/9)=13/27
お礼
回答ありがとうございます。 とても助かりました。 因数分解を使ったほうが速そうですね。 ありがとうございました。
- naniwacchi
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こんにちわ。 ＞sin^3θ-cos^3θ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sin^2θ・cosθ+3sinθ・cos^2 ＞ ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sinθ・cosθ(sinθ‐cosθ) 3乗の展開式は (s- c)^3＝ s^3- 3*s^2*c+ 3*s*c^2- c^3 ですから、後ろで引くものと加えるものが逆になっているようですね。 で、単純に因数分解を使った方がよいかと・・・ sin^3θ- cos^3θ ＝ (sinθ- cosθ)(sin^2θ+ sinθcosθ+ cos^2θ) ＝ 1/3* (1+ 4/9) ＝ 13/27 sinθcosθの計算がわかっているだけに惜しい感じです。
お礼
回答ありがとうございます。 とても助かりました。 今さらながら、うわ～って感じです。 精進します。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
＞そして何が違っているのかわかりません。 sinθ・cosθ=4/9 までは合ってるから、単なる計算ミスだろう。 簡単のために、sinθ＝x、cosθ＝y とすると、x-y＝1/3 xy＝4/9 の時に x＾3-y＾3 の値を求める問題になる。 x＾3-y＾3＝(x-y)*(x＾2＋y＾2＋xy)＝(x-y)*(1＋xy)＝13/27。
お礼
回答ありがとうございます。 とても助かりました。 自分の中で、何が違うのかを発見するのには、倍の時間がかかることを改めて知らされました。本当に助かりました。
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お礼
回答ありがとうございます。 とても助かりました。 かなりのミスです。 符号を勘違いしたまま計算を進めてしまった愚かさを、これからに役立てたいです。