数学の軌跡について教えて下さい！

質問

参考書の例題を見てみたのですが、ハショりすぎていて数学が苦手な私にはちんぷんかんぷんでした＞＜
よろしければ、その例題を使って詳しい解説をしていただけないでしょうか？

2定点A(0,0),B(5,0)があるとき、,AP:BP=3:2であるような点Pの軌跡を求めよ。

2√x2+y2=3√(x-5)2+y2
両辺は負でないから、両辺を平方して
4(x2+y2)=9{(x-5)2+y2}
これを整理して x2-18x+y2+45=0
よって　(x-9)2+y2=36

以上です。
＞4(x2+y2)=9{(x-5)2+y2}
ここまでは理解できるのですが、その先はさっぱりです・・・。
皆様のお知恵お貸しください！

回答No.2

mko900 · ベストアンサー

最初から。
点P（x,y）とおく。

AP＝√x^2+y^2

BP＝√(5-x)^2+y^2

AP:BP=3:2より

3:2＝√x^2+y^2：√(5-x)^2+y^2

よって
3(√(5-x)^2+y^2)＝2(√x^2+y^2)

両辺は負ではないので良両辺を平方して

9｛(5-x)^2+y^2｝＝4｛x^2+y^2｝・・・(1)

ここまでが理解できているということでしたね。
あとは(1)を計算していくだけなんです。
まず展開

9(5-x)^2+9y^2=4x^2+4y^2

9(25-10x+x^2)+9y^2=4x^2+4y^2

225-90x+9x^2+9y^2=4x^2+4y^2

左辺を右辺に移項して

5x^2-90x+5y^2+225=0

すべての項が５で割れます。
そうすると

x^2-18x+y^2+45=0

次にxの2次式とみます。
xで平方完成します。
すると

（x^2-18x+81)-81+y^2+45=0

(x-9)^2+y^2-36=0

(x-9)^2+y^2=36

これは点（9,0）を中心とした半径6の円の軌跡となります。
ちなみに＾2は2乗の意味です。

お礼

ありがとうございます。
とてもわかりやすくご説明頂いて感謝感謝です。

回答No.1

gmt7724

4(x2+y2)=9{(x-5)2+y2}
4x2+4y2=9{(x2-10x+25)+y2}
4x2+4y2=9(x2-10x+25)+9y2
4x2+4y2=9x2-90x+225 +9y2
両辺を4x2+4y2で引くと、
0=5x2-90x+225+5y2
両辺を5で割ると、
0=x2-18x +45+y2
0=x2-18x+81-81+45+y2
0=(x-9)2-81 +45+y2
0=(x-9)2 -36+y2
36=(x-9)2 +y2
よって
(x-9)2+y2=36

お礼

ご解説ありがとうございました。
皆様の解説でやっと理解できましたｗ
ご機会あればまたよろしくお願いします。