数学 絶対値 計算

質問

y^4=x＾2の式変形について教えて下さい。

y^4=x＾2
両辺に√をとると、
√（y^4）=√（x^2）
y^2=｜x｜
となりました。
y^4=x＾2はy^2=｜x｜と同値という理解で正しいですか？

y^2=xはy=±√xと同値ですから、
y^2=xの両辺を2乗したものも、y=±√xとなる？
と思ったのですが、この考え方は間違いでしょうか？

y^2=xとy^4=x^2は同値ではないということでしょうか？
両辺を2乗することで同値性が崩れたのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

No.1,　No.3です。

ANo.3の補足質問の回答

>今回、実数の範囲でしか考えていなかったのですが、
>複素数の範囲で考えると何か不都合が起こるのでしょうか？

●不都合なこと
[1] 複素数の範囲では
√の定義がなされていないこと。
ルートの内部は正の実数、負の実数までは定義されています。
　√2, √(-2)=i√2
しかし√の内部が虚数の場合は実際には定義されていないので問題がある。
例えば
　√i=？、√(3+i2)=?
もし「√の複素数の範囲での定義」が、2乗して√内の複素数になる複素数である（この定義は一般的に存在しているとは言えない）とするなら
(1) √i=±(1+i)/√2とする定義。
この場合、√iの値として2通りの複素数が存在することになります。
(2) √i=e^(i*nπ+(π/4)) (nは任意の正負整数)とする定義。
この場合、√iの値として無数の値が存在することになります（重解となりますが…）

[2] 実数の場合の絶対値の定義と複素数の絶対値の定義が異なる。
実数の範囲では
　√(x^2)=|x|
複素数の範囲では
　2乗してx^2（実数の場合）になる数という定義なら
　√(x^2)=±|x|と2通りの値が存在します。
√内が虚数の場合 例、x=a+bi(a,b実数,b≠0)
　√(x^2)=√(a^2-b^2+2iab)
　|x|=√(a^2+b^2)
となって実数の場合の関係√(x^2)=|x|が成り立たない。
　a=0,b=-1とおくと√(x^2)=√(-1)=i,|x|=1

など、色々不都合な問題が発生します。

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

何度もご回答ありがとうございました。

回答No.4

naniwacchi

こういう場合は、「両辺をうにょうにょ」するよりは・・・

y^4- x^2＝0としておいてから、
(左辺)＝ (y^2- x)(y^2+ x)となるので、

x＝ y^2 または x＝ -y^2

として考えた方がよいかと、
前者は x≧ 0、後者は x≦ 0となることは明らかですよね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど！！
そのようにして考えることもできますね。

ありがとうございました。

回答No.3

info22_

No.1です。

ANo.1の最後の質問部分の補足です。

>y^2=xとy^4=x^2は同値ではないということでしょうか？←その通り
>両辺を2乗することで同値性が崩れたのでしょうか？←その通り

y^2=x≧0なので y^2=xのグラフはy軸の右側にのみ存在します。
y^4=x^2には、y^2=xとy^2=-xの場合が含まれます。

y^2=xのグラフとy^2=-xのグラフはy軸対称の関係にあります。
y^2=xのグラフはx≧0なのでy軸の右側に存在します。
y^2=-x(≧0)のグラフはx≦0なのでy軸の左側に存在します。
y^2=xを2乗するとy^4=x^2になるけど、y^2=-xが加わって、同値性が保たれません。

補足

ご回答ありがとうございます。

理解できました。
グラフ作成ソフトで実際に描いてみると明らかでした。

y^4=x^2⇔y=±√|x|より、
y^2=x⇔y=±√xとは同値ではないことも理解できました。

今回、実数の範囲でしか考えていなかったのですが、
複素数の範囲で考えると何か不都合が起こるのでしょうか？

お手数をお掛けしますが、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

Quattro99

実数範囲ということでよいでしょうか。

どうして途中で絶対値を無視してしまっているのですか？
y^2=｜x｜からはy=±√|x|ではありませんか？

y^2=xとy^4=x^2は同値ではないですよ。後者は(x,y)=(-1,1)で成り立ちますが前者は成り立ちません。

補足

ご回答ありがとうございます。
実数範囲で考えていました。

＞どうして途中で絶対値を無視してしまっているのですか？
＞y^2=｜x｜からはy=±√|x|ではありませんか？
y^4=x^2⇔y=±√|x|ということで理解しました。

実数範囲で考えていたのですが、複素数の範囲に拡張
して考えると、なにかまずい問題が起こるのでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い
致します。

回答No.1

info22_

>y^4=x＾2はy^2=｜x｜と同値という理解で正しいですか？←正しい。

>y^2=xはy=±√xと同値ですから、←正しい
>y^2=xの両辺を2乗したものも、y=±√xとなる？←間違い
この日本語はおかしい。
２乗すればy^4=x^2となり、y=±√xとはなりません。

「y^2=xの両辺を2乗したy^4=x^2は、y=±√xと同値となる」
>と思ったのですが、この考え方は間違いでしょうか？
というのであれば、間違いです。
なぜなら
y^4=x^2は、x<0の場合も含む（x軸対称かつy軸対称）
　2乗することでy^2=-x(x≦0)が加わります。
y=±√xにはx≧0の部分しか存在しません。x<0の部分が含まれません(x軸対称のみ)。