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1+2+3+・・・・・＝-1/12 の意味について
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- info22
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不思議ですね。 正の数を無限大の項数加えれば正数になるか、無限大に発散しその値が分からない。 しかし、実数の世界を、無限大の世界や複素関数論の世界に拡張すると、実数の世界の常識が通用しない世界が顔を出します。 ζ（－１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝－１／１２ ζ（－２）＝１^2 ＋２^2 ＋３^2 ＋４^2 ＋・・・＝０ 左辺の項は全て1以上の正の数で後の項ほど大きくなって無限大の項になっていきます。実数の世界では∞＋∞は∞と考えるのが普通でしょうね。 しかし∞という数は存在せず、限りなく大きい数の極限の状態で数ではないという事でしょう。そういう極限の世界まで実数の演算を拡張すると、実数の世界では想像のつかない結果がでてくるのですね。 |x|＜1の等比数列の無限項和は 1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x) となることは高校の教科書にも載っている公式ですね。 この両辺をxで微分すると 1+2x+3x^2+4x^3+...=1/(1-x)^2 となります。 この式で収束条件の|x|<1の境界のx→1-0とすると 1+2+3+4+...=1/(-0)^2=∞ （高校の数学の範囲内の扱い） となります。 ζ(-1)=-1/12 （複素関数論に拡張した数学の世界での扱い） の結果とは明らかに異なった結果になりますね。 「1+2+3+4+...」の「...」の部分の扱いによって複素関数論を適用した結果がゼータ関数ζ(s)を使ってζ(-1)で扱えることが発見されたわけですね。 この辺りの詳細は参考URLをご覧下さい。
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