1+2+3+・・・・・＝-1/12 の意味について

質問

ゼータ関数ζ(s)でｓ＝－１のとき
　1+2+3+4+5+・・・・・・＝-1/12
となることを知りました。
これは常識的に考えると明らかに間違いだと思うのですが、
本には間違いとは書かれておりません。
なにか意味があるのでしょうか？

回答No.7

zk43

計算的には、
ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…
Φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+…
とすると、
Φ(s)=(1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…)-2(1/2^s+1/4^s+…)
=ζ(s)-2/2^s*ζ(s)=(1-2^(1-s))ζ(s)
より、
ζ(s)=Φ(s)/(1-2^(1-s))
ここで、
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+…
の両辺を微分すると、
1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+…
x=-1とすると、
1/4=1-2+3-…=Φ(-1)
よって、
1+2+3+…=ζ(-1)=Φ(-1)/(1-2^2)=(1/4)/(1-4)=-1/12
となる。
級数の収束範囲とか考えると正確な議論ではないですが、オイラーが
このような計算をし、後に100年くらい経ってリーマンが解析接続とい
う概念により意味づけを行いました。
ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+…は、sが複素数の範囲で考えると、sの実部が
1より大きい時に収束します。
そこで、ζ(s)の微分可能性を保ったまま、sの実部が1以下のところま
で、定義域を拡張（解析接続）すると、s=-1のときの値が-1/12となっ
たわけです。（ちなみにs=1のときだけ微分可能ではありません。
ζ(1)=1+1/2+1/3+…=∞となっています。有名な調和級数）
実関数の場合は、たとえばf(x)=x^2（x>0)を微分可能なままx≦0にまで
定義域を拡張する方法は、f(x)=0、f(x)=-x^2、・・・など無限通りあ
りますが、複素関数の場合は、微分可能なまま定義域を拡張する方法
は唯一通りしかありません。（一致の定理というのがあり、集積点を
もつ点集合上で値が一致する二つの微分可能な関数があったとすると、
実はこの二つの関数は、領域全体で同じ値をとる、というような定理）
従って、複素関数の微分可能というのはすごく厳しい条件であるといえ
ます。例えば、単位円板上で微分可能な関数は、円の周囲での値を決め
ると、円の中での値も決まってしまいます。
実関数の場合は、区間の端点の値を決めても、この区間で微分可能な
関数は無限にあり、これが複素関数との大きな違いです。
また、この他にも、1×2×3×4×…=√(2π)など、いろいろ面白いもの
があります。オイラー関連の本を調べると、いろいろ関連のものがあり
ます。

お礼

ありがとうございます。
参考になりました。