どうやって証明したらいいですか。

質問

代数の問題で、

m,nが互いに素でその時
写像f:Z/mnZ→Z/mZ×Z/nZ(Zは有理整数環)を
　　a+mnZ→(a+mZ,a+nZ)と定義したとき
fが全射であることの証明と、
Kerf=mnZの証明の仕方が分かりません。
どちらか片方だけでもいいので、
どのように導いたらいいのか教えてください！

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

Chinese Remainder Theoremの簡潔バージョンですね。

まずは全射であることを示します。
任意に(a+mZ,b+nZ)をとります。m,nが互いに素なのである整数r,tが存在してrm-tn=a-bです。このとき明らかにa-rm=b-tnでこの値をcとおけば(a+mZ,b+nZ)=(c+mZ,c+nZ)なので全射であることが言えました。

次にkernelですが
(a+mZ,a+nZ)=0⇔n|a,m|a
からスタートします。n,mが互いに素であることから更にnm|aと同値です。これはKerf=mnZを意味してます。

お礼

ringohatimituさん、ありがとうございます。
ぜひとも、参考にさせてもらいます。

ただ１つ質問が・・・
自分が出来ない人間なので、いまいち全射の
証明方法がよくわかりません。
できるのであればバカな俺にも分かる感じで
書いていただけると幸いです。

すみません、質問している身なのに・・・

回答No.6

ringohatimitu

ええと(mZ,nZ)のことです。混乱を招いたようで失礼しました。

お礼

いろいろとありがとうございました。

それでなんですけど、
いろいろと説明してもらって悪いんですが、
もし、よかったら
証明を丁寧にもう1回送ってくれませんか？
俺、本当に馬鹿なんで、証明を見て、
それから教科書も見て理解したいので。

回答No.5

ringohatimitu

それは(0,0)のことです。略して書いてました。

お礼

(0,0)って何を表しているんですか？

回答No.4

ringohatimitu

＞任意の整数aに対してある整数r,tが存在しa=rm+tnは分かります。
けれど、そこからrm-tn=a-bってどうやって出てくるのですか？

単に最初のaとしてa-bをとってくればある整数r,tがあってrm+tn=a-bです。証明を見ればすぐ分かると思いますがrm-tnである必要はないです。

＞Z/mZの定義は把握ですか？
う～ん、すみません微妙です。

ええと、Z/mZの元というのは集合です。それは{a+rm|r∈Z}という形のものですが一つ代表元aをとってa+mZで表しています。この定義から他の例えばa+kmとかをとってa+km+mZを構成しても同じ集合になることはすぐ分かると思います。

ここで上記の問題を質問される前にお手元の本をもう一度読み返されることを強くお薦めします。まず定義を把握してからでなければいくら答えても逆に基本的なことへと遡っていくばかりです。

お礼

確かにそうですね。
教科書を読み返してみます。

後、もう1つだけいいですか？
(a+mZ,a+nZ)=0ってどういう意味ですか？
(a+mZ,a+nZ)=1なら互いに素って分かりますし、
2とか3ならこれが最小公約数っていうのも分かります。
0っていうのが何のことを表していることなるんですか？

回答No.3

ringohatimitu

「m,nが互いに素なとき任意の整数aに対してある整数r,tが存在しa=rm+tn」という命題はご存知ですか？もしこれも証明しなければならないとすればそれについても改めて回答しますがこの命題は大抵の初等整数論や大学教養で使われている代数の本なんかに必ず載っていますので確かめてみてください。ちなみに直接示すことも出来ますがＺが単項イデアルであるということからも直ちに従います。ともあれ基本はユークリッドアルゴリズムです。

あとZ/mZの定義は把握してますでしょうか？a+mZ=a-rm+mZ=c+mZです。Z/nZにおいても同様です。代表元にmuduloの元（この場合mZの元）を足したものも同じ類の代表元となります。

お礼

任意の整数aに対してある整数r,tが存在しa=rm+tnは分かります。
けれど、そこからrm-tn=a-bってどうやって出てくるのですか？

Z/mZの定義は把握ですか？
う～ん、すみません微妙です。
出来れば教えていただきたいです。

Z/mZの定義が把握できれば、a+mZ=a-rm+mZで
aがa-rmになった理由とかも分かりますか？

回答No.2

ringohatimitu

私の証明でどこが分からないのかを明示してください。あと初めから自分で証明を考えたときに分からない部分を具体的に質問する方が答える側もより答え易いです。

お礼

えっとですね。

(a+mZ,b+nZ)をとるのはＯＫです。
『次のm,nが互いに素なのである整数r,tが存在してrm-tn=a-bです』の
rm-tn=a-bというふうに書けるってところと、
cとおいて(a+mZ,b+nZ)=(c+mZ,c+nZ)なのでってところです。