• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

どうやって証明したらいいですか。

代数の問題で、 m,nが互いに素でその時 写像f:Z/mnZ→Z/mZ×Z/nZ(Zは有理整数環)を   a+mnZ→(a+mZ,a+nZ)と定義したとき fが全射であることの証明と、 Kerf=mnZの証明の仕方が分かりません。 どちらか片方だけでもいいので、 どのように導いたらいいのか教えてください!

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

Chinese Remainder Theoremの簡潔バージョンですね。 まずは全射であることを示します。 任意に(a+mZ,b+nZ)をとります。m,nが互いに素なのである整数r,tが存在してrm-tn=a-bです。このとき明らかにa-rm=b-tnでこの値をcとおけば(a+mZ,b+nZ)=(c+mZ,c+nZ)なので全射であることが言えました。 次にkernelですが (a+mZ,a+nZ)=0⇔n|a,m|a からスタートします。n,mが互いに素であることから更にnm|aと同値です。これはKerf=mnZを意味してます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ringohatimituさん、ありがとうございます。 ぜひとも、参考にさせてもらいます。 ただ1つ質問が・・・ 自分が出来ない人間なので、いまいち全射の 証明方法がよくわかりません。 できるのであればバカな俺にも分かる感じで 書いていただけると幸いです。 すみません、質問している身なのに・・・

その他の回答 (5)

  • 回答No.6

ええと(mZ,nZ)のことです。混乱を招いたようで失礼しました。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

いろいろとありがとうございました。 それでなんですけど、 いろいろと説明してもらって悪いんですが、 もし、よかったら 証明を丁寧にもう1回送ってくれませんか? 俺、本当に馬鹿なんで、証明を見て、 それから教科書も見て理解したいので。

  • 回答No.5

それは(0,0)のことです。略して書いてました。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

(0,0)って何を表しているんですか?

  • 回答No.4

>任意の整数aに対してある整数r,tが存在しa=rm+tnは分かります。 けれど、そこからrm-tn=a-bってどうやって出てくるのですか? 単に最初のaとしてa-bをとってくればある整数r,tがあってrm+tn=a-bです。証明を見ればすぐ分かると思いますがrm-tnである必要はないです。 >Z/mZの定義は把握ですか? う~ん、すみません微妙です。 ええと、Z/mZの元というのは集合です。それは{a+rm|r∈Z}という形のものですが一つ代表元aをとってa+mZで表しています。この定義から他の例えばa+kmとかをとってa+km+mZを構成しても同じ集合になることはすぐ分かると思います。 ここで上記の問題を質問される前にお手元の本をもう一度読み返されることを強くお薦めします。まず定義を把握してからでなければいくら答えても逆に基本的なことへと遡っていくばかりです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

確かにそうですね。 教科書を読み返してみます。 後、もう1つだけいいですか? (a+mZ,a+nZ)=0ってどういう意味ですか? (a+mZ,a+nZ)=1なら互いに素って分かりますし、 2とか3ならこれが最小公約数っていうのも分かります。 0っていうのが何のことを表していることなるんですか?

  • 回答No.3

「m,nが互いに素なとき任意の整数aに対してある整数r,tが存在しa=rm+tn」という命題はご存知ですか?もしこれも証明しなければならないとすればそれについても改めて回答しますがこの命題は大抵の初等整数論や大学教養で使われている代数の本なんかに必ず載っていますので確かめてみてください。ちなみに直接示すことも出来ますがZが単項イデアルであるということからも直ちに従います。ともあれ基本はユークリッドアルゴリズムです。 あとZ/mZの定義は把握してますでしょうか?a+mZ=a-rm+mZ=c+mZです。Z/nZにおいても同様です。代表元にmuduloの元(この場合mZの元)を足したものも同じ類の代表元となります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

任意の整数aに対してある整数r,tが存在しa=rm+tnは分かります。 けれど、そこからrm-tn=a-bってどうやって出てくるのですか? Z/mZの定義は把握ですか? う~ん、すみません微妙です。 出来れば教えていただきたいです。 Z/mZの定義が把握できれば、a+mZ=a-rm+mZで aがa-rmになった理由とかも分かりますか?

  • 回答No.2

私の証明でどこが分からないのかを明示してください。あと初めから自分で証明を考えたときに分からない部分を具体的に質問する方が答える側もより答え易いです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

えっとですね。 (a+mZ,b+nZ)をとるのはOKです。 『次のm,nが互いに素なのである整数r,tが存在してrm-tn=a-bです』の rm-tn=a-bというふうに書けるってところと、 cとおいて(a+mZ,b+nZ)=(c+mZ,c+nZ)なのでってところです。

関連するQ&A

  • 準同型写像

    m,n∈Nにおいて f:Z → Z/mZ + Z/nZ a → (a+mZ,b+nZ) とするとき、fは準同型写像であることを示せといわれましたが何を示せば良いかわかりません!あとKerfをmとnの言葉で答えよというものや、fが全射となる条件というのもさっぱりなのでヒントでもよいですから教えてもらえるとうれしいです!

  • 同型であることの示し方を教えてください。

    整数Zと有理数Qが加法群として同型であるかどうかを示したいのですが、 同型であることを示す証明がいまいちできません。 写像をどのように定義すればいいのですか? 写像を定義すればあとその写像が f(ab)=f(a)f(b)であることを示して 全射であることを示せばいいと思うのですが・・ 写像がいまいちわかりません。 あと、R → R*=R-{0} の時の写像もどのように考えればいいのでしょうか?

  • 写像の証明問題です。よろしくお願いします。

    写像の問題です。よろしくお願いします。 (1)2つの写像f:X→Y、f:Y→Zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数Nと零を合わせた集合N∪{0}から整数の集合Zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。

  • 代数学の問題なのですが

    代数のレポートなのですが、苦手なのでよくわかりません。 一問だけでもいいのでどなたか教えてください。 m、n;互いに素な自然数 f;z/mnz → z/mz×z/nzをf(a+mnz)=(a+mz,a+nz)と定義する。 (1)fはwell-definedであることを示せ。 (2)fは全単射であることを示せ。 (3)fは(z/mnz)* を(z/mz)* × (z/nz)*の上にうつすことを示せ。 (4)(3)を使ってψ(mn)=ψ(m)ψ(n)を示せ。 お願いします。

  • 中国の剰余定理

    今、代数を勉強していますがわからないので教えて下さい。 「f:Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ は同型写像であり、これを中国の剰余定理という。」 と書いてありそのあとに、 「mで割るとi余り、nで割るとj余るような整数kを求めるには、 cm+dn=1となる整数c,dを求めておいてk=cmj+dniとすればよい。」 とありますが、前半と後半の繋がりがよくわかりません。

  • 写像の問題です。よろしくお願いします。

    (1)2つの写像f:X→Y、g:Y→Zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数Nと零を合わせた集合N∪{0}から整数の集合Zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。

  • 代数に関する問題です(大学レベル)

    まず記号の説明ですが、 SLn(K)はdet=1となるようなn×n行列全体 Zを整数全体 Z/NZをZをNZで割った剰余類とします 問題 Nを自然数とする SL2(Z)からSL2(Z/NZ)への写像を ____a__b____________a+NZ__b+NZ (_________)_→_(_________________) と定めたとき ____c__d____________c+NZ__d+NZ この写像が全射になることを示せ。 というものです。 ユークリッドの互除法を使うようですがなかなか解けません。 ヒントになるようなことでも結構ですから アドバイスをお願いします。

  • 代数学の、群の問題を教えて下さい。

    nは正の整数とする。Gは位数nの巡回群とする。この問題では、GはZ/nZに同型であることを示す。 (1)Gの生成元xをとり(つまりG=<x>)、群の準同型定理f:Z→Gをm∈Zに対してf(m)=x^mで定める。このときfは全射であることを示しなさい。またKerf=nZであることを示しなさい。 (2)fに準同型定理を適用して、Z/nZ≃Gを示しなさい。 という問題です。お願いします。

  • 2次体の整数環での既約剰余類群はありますか?

    有理整数環Zの剰余環Z/mZの部分集合 (Z/mZ)^*={[a]∈Z/mZ|a∈Z、gcd(a,m)=1} は乗法に関して群をなし、既約剰余類群と呼ばれます。 この整数環Zに対して、2次体の整数環Z[ω]で考えると、 剰余環はイデアルAを用いて、Z[ω]/Aとなりますが、 既約剰余類群に対応するものはあるのでしょうか? 2次体の整数環Z[ω]では、いつでも最大公約数があるとは限らないですが、 一意分解環(UFD)では最大公約数があるので、そのときは 既約剰余類群の対応物があるように思うのですが。 あるのでしたら、名前とか参考サイトを教えていただけないでしょうか? ないのでしたら、なぜないかを教えていただけないでしょうか。

  • 代数の問題です

    代数の問題です 有理整数全体Zは通常の+、×に関して可換環になる ことを示したいです 教えてください お願いします