微分です

質問

x= ξcosθ + ηsinθ
y= ξsinθ - ηcosθ

(∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2 を　(∂f/∂ξ)と(∂f/∂η)で表せ

という問題です。

ｆは特に断られていないのですが ｚ=f(x,y) だろうな、という所で行き詰りました(>＿<)

お願いします！

回答No.1

noname#26313

∂f/∂ξ=(∂f/∂x)(∂x/∂ξ)+(∂f/∂y)(∂y/∂ξ)
∂f/∂η=(∂f/∂x)(∂x/∂η)+(∂f/∂y)(∂y/∂η)

(∂x/∂ξ)・(∂y/∂η)-(∂x/∂η)・(∂y/∂ξ) を
∂(x,y)/∂(ξ,η) と表わすことにすると、

∂f/∂x={(∂f/∂ξ)・(∂y/∂η)-(∂f/∂η)・(∂y/∂ξ)}/{∂(x,y)/∂(ξ,η)}
∂f/∂y={(∂f/∂η)・(∂x/∂ξ)-(∂f/∂ξ)・(∂x/∂η)}/{∂(x,y)/∂(ξ,η)}

となる。

∂x/∂ξ=cosθ、∂x/∂η=sinθ
∂y/∂ξ=sinθ、∂y/∂η=-cosθ

であるから、これらを上の式に代入すると、

∂f/∂x={-cosθ・(∂f/∂ξ)-sinθ・(∂f/∂η)}/{∂(x,y)/∂(ξ,η)}
∂f/∂y={cosθ・(∂f/∂η)-sinθ(∂f/∂ξ)}/{∂(x,y)/∂(ξ,η)}

∴(∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2={(∂f/∂ξ)^2+(∂f/∂η)^2}/{∂(x,y)/∂(ξ,η)}^2

∂(x,y)/∂(ξ,η)=(∂x/∂ξ)・(∂y/∂η)-(∂x/∂η)・(∂y/∂ξ)
=cosθ・(-cosθ)-sinθ・sinθ=-1

であるから、{∂(x,y)/∂(ξ,η)}^2=1

故に、
(∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2=(∂f/∂ξ)^2+(∂f/∂η)^2 であり、

(∂f/∂ξ)^2+(∂f/∂η)^2 と表わせる。

お礼

bonsensさんっ丁寧な回答ありがとうございます(-＾〇＾-)ノ