• 締切済み

微分です

x= ξcosθ + ηsinθ y= ξsinθ - ηcosθ (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2 を　(∂f/∂ξ)と(∂f/∂η)で表せ という問題です。 ｆは特に断られていないのですが ｚ=f(x,y) だろうな、という所で行き詰りました(>＿<) お願いします！

みんなの回答

noname#26313
noname#26313
回答No.1

∂f/∂ξ=(∂f/∂x)(∂x/∂ξ)+(∂f/∂y)(∂y/∂ξ) ∂f/∂η=(∂f/∂x)(∂x/∂η)+(∂f/∂y)(∂y/∂η) (∂x/∂ξ)・(∂y/∂η)-(∂x/∂η)・(∂y/∂ξ) を ∂(x,y)/∂(ξ,η) と表わすことにすると、 ∂f/∂x={(∂f/∂ξ)・(∂y/∂η)-(∂f/∂η)・(∂y/∂ξ)}/{∂(x,y)/∂(ξ,η)} ∂f/∂y={(∂f/∂η)・(∂x/∂ξ)-(∂f/∂ξ)・(∂x/∂η)}/{∂(x,y)/∂(ξ,η)} となる。 ∂x/∂ξ=cosθ、∂x/∂η=sinθ ∂y/∂ξ=sinθ、∂y/∂η=-cosθ であるから、これらを上の式に代入すると、 ∂f/∂x={-cosθ・(∂f/∂ξ)-sinθ・(∂f/∂η)}/{∂(x,y)/∂(ξ,η)} ∂f/∂y={cosθ・(∂f/∂η)-sinθ(∂f/∂ξ)}/{∂(x,y)/∂(ξ,η)} ∴(∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2={(∂f/∂ξ)^2+(∂f/∂η)^2}/{∂(x,y)/∂(ξ,η)}^2 ∂(x,y)/∂(ξ,η)=(∂x/∂ξ)・(∂y/∂η)-(∂x/∂η)・(∂y/∂ξ) =cosθ・(-cosθ)-sinθ・sinθ=-1 であるから、{∂(x,y)/∂(ξ,η)}^2=1 故に、 (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2=(∂f/∂ξ)^2+(∂f/∂η)^2 であり、 (∂f/∂ξ)^2+(∂f/∂η)^2 と表わせる。　

shingo9009
質問者

お礼

bonsensさんっ丁寧な回答ありがとうございます(-＾〇＾-)ノ

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