微分、積分

質問

学校を出て数年もしてから勉強しているため、このような問いを聞ける人がおらず、困っています。

問題集を解いていて分からなかった問題の解法について質問させていただきたいと思います。
((1)は確かめてほしいという質問で、(2)(3)は解いて解説いただきたいです。）

(1)極限値の問

lim(x→0) [ (x-sin^-1(x)) / x^3 ]　　一応解いたのですが解がないため、本当にできているのか分かりません。自分が出した解は　-1/6　でしたがこれはどうでしょうか。

(2)重積分

∬[D] sin(x+y) dxdy [D : y≧|x| , x^2+y^2≦1]

(3)関数の極値

（１） z= cos(x) + cos(y) - cos(x+y) (0<x , y<π/2）

（２） z = x^4 + y^4 - 4x^2 - 4y^2 + 8xy

(4)解いてほしいわけではないのですが、質問です。

微分方程式で、　たとえば y' = xy(y+1)　というような問題があり、y(0)などが問題にない場合は
ラプラス変換による解法は使えないのでしょうか？

多くて申し訳ありませんが、全部でなくていいので、分かるものだけでも説明いただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

#1～#5です。

A#3の補足質問について

(2)
>申し訳ありません！sin(x+y) ではなくて∬xy dxdy でした(>_<)
I=∬[D] xydxdy, D={(x,y): y≧|x| , x^2+y^2≦1}

x=rcos(t),y=rsin(t)で置換積分
D⇒D'={(r,t):0<=r<=1,π/4<=t<=3π/4}
dxdy=|J|drst=rdrdt

I=∬[D'] (r^3)cos(t)sin(t) drdt
=∬[D'] (1/2)(r^3)sin(2t) drdt
=(1/2)∫[π/4,3π/4] sin(2t)dt*∫[0,1] r^3 dr
=(1/2)*0*(1/4)
=0

お礼

分かりやすい解答ありがとうございます！
非常に助かりました！

回答No.5

info22_

(3-2)
z=x^4+y^4-4x^2-4y^2+8xy
zx=zy=0より停留点は
(x,y)=(0,0),(2,-2),(-2,2)

z(0,0)=0,z(2,-2)=z(-2,2)=-32

停留点(0,0)について
A=zxx(0,0)=-8,C=zyy(0,0)=-8,B=zxy(0,0)=8,
D=AC-B^2=0
x=y=t->0の時z=2t^4-8t^2+8t^2=2t^4>0
x=-y=t->0の時z=2t^4-8t^2-8t^2=-16t^2<0
停留点は鞍点なので極値を取らない。

停留点(2,-2)について
A=zxx(2,-2)=40>0,C=zyy(2,-2)=40,B:zxy(2,-2)=8
D=AC-B^2=1536>0
極小値(最小値)z(2,-2)=-32

停留点(-2,2)について
A=zxx(-2,2)=40>0,C=zyy(-2,2)=40,B:zxy(-2,2)=8
D=AC-B^2=1536>0
極小値（最小値）z(-2,2)=-32

となります。
zx,zy,zxx,zyy,zxyの計算は省略しましたが参考URLを
参考に計算して見てください。

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node89.html

回答No.4

info22_

(3-1)
z= cos(x) + cos(y) - cos(x+y) (0<x , y<π/2）
cos(x)=X,cos(y)=Yとおくと
0<X<1,0<Y<1
cos(x+y)=XY-√{(1-X^2)(1-Y^2)}
z=X+Y-XY+√{(1-X^2)(1-Y^2)}=f(X,Y)
の極値を考えればよい。
fx=fy=0、0<X<1,0<Y<1より (X,Y)=(1/2,1/2) が停留点１つのみ
A=fxx(1/2,1/2)=-4/3<0,
B=fxy(1/2,1/2)=-4/3<0,
C=fyy(1/2,1/2)=-4/3<0,

D=AC-B^2=4/3
A<0,D>0故、停留点で極大値（最大値）を取る。
極大値(最大値)f(1/2,1/2)=3/2
このとき
cos(x)=X=1/2,cos(y)=Y=1/2,(0<x<π/2,0<y<π/2)
(x,y)=(π/3,π/3)

なお、0<X<1,0<Y<1よりこの他の極大値、極小値は存在しません。

参考URL
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node89.html

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node89.html

回答No.3

info22_

(2)
この積分は簡単には解けないようです。
なので一部数値計算でやってみました。

　I=∬[D] sin(x+y) dxdy
　D={(x,y): y≧|x| , x^2+y^2≦1}

逐次積分に直す。
積分領域２つに分け、範囲0≦y≦1/√2 の積分I1と1/√2≦y≦1の積分I2
に分ける。
　I=I1+I2
　I1=∫[0,1/√2] dy∫[-y,y] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dx
=∫[0,1/√2] dy*2sin(y)∫[0,y] cos(x)dx
=∫[0,1/√2] 2sin^2(y) dy
=∫[0,1/√2] (1-cos(2y) dy
=(1/√2) -(1/2)sin(√2)
=0.21322380819018…
　I2=∫[1/√2,1] dy
*∫[-√(1-y^2),√(1-y^2)] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dx
=∫[1/√2,1] dy*2sin(y)∫0,√(1-y^2)] cos(x)dx
=∫[1/√2,1] 2sin(y)sin(√(1-y^2))dy
この積分は難しいので数値積分で行うと
　I2=0.19880676485499…
以上から
　I=I1+I2=(1/√2) -(1/2)sin(√2)+I2
　 ≒0.41203057304517
となりました。

お礼

申し訳ありません！sin(x+y) ではなくて∬xy dxdy でした(>_<)
変な問にしたにもかかわらず頑張ってといていただいたのに本当に申し訳ありません。

回答No.2

info22_

(4)
変数分離型はので、ラプラス変換は使いません。
y'/(y*(y+1))=x
(1/2){1/y -1/(y+1)}dy=xdx
log|y/(y+1)|=x^2+C
y/(y+1)=e^(x^2 +C)
1+1/y=e^(-x^2-C)
1/y=e^(-x^2-C) -1
y=1/{(e^(-x^2-C)) -1} , Cは任意定数

お礼

ありがとうございます！助かります！

回答No.1

info22_

まず
(1)は「-1/6」で合ってます。

お礼

ありがとうございます！