積分について

質問

積分について
受験問題の積分の分野で悩んでお聞きします
1.(x^2 + y^2)^2 = 2(x^2 - y^2)
(1)この曲線がx軸とy軸に対称なことを示す
(2)極座標系を用いて曲線を示す

2.∫∫D　{ y / (1 + y^2)(1 + xy)^2 } dxdy
(1)D = { (x,y) | 0 <= x <= y, y <=1}の二重積分を求めよ
という問題が解りません

今回の問題は全く解法が解りません
そのため、解法が解る方が居ましたしたら、お手数ですが計算過程を含めて教えて下さい
よろしくお願いします

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

問1(1)
　x→-x で与式が変わらなければｙ軸に対して対称です。
　また, y→-y で与式が変わらなければｘ軸に対して対称です。

　　x→-x: {(-x)^2+y^2}^2=2{(-x)^2-y^2}　⇔ (x^2+y^2)^2=2(x^2+y^2)　←与式に一致
　　y→-y: {x^2+(-y)^2}^2=2{x^2+(-y)^2)　⇔ (x^2+y^2)^2=2(x^2+y^2)　←与式に一致

問1（2）
　極座標では次の変数変換を使います。
　　x=r cosθ, y=r sinθ
　これを与式に代入しますと、次のようになります。
　　r^4=2r^2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}
　⇔r^2[r^2-2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}]=0
　⇔r^2{r^2-2cos(2θ)}=0
　∴r=0, r=√{2cos(2θ)}

　r=√{2cos(2θ)}から、θ=π/4 のとき r=0 となりますので、r=√{2cos(2θ)} だけを描けば良いことになります。
　また、問1（1）から与えられた曲線はx軸にもy軸にも対称ですので、第1象限だけを描いて、それが対称になるように第2象限から第4象限に写せばよいことが分かります。
　さて、第1象限ですが、θ=0 のとき r=√2 で、ここからθが増加するに従って r は減少し、θ=π/4 のとき r=0 となり、π/4<θ≦π/2 のとき r は解なしです。
　あとは、具体的に　θ=π/12,π/8,π/6 を代入してプロットしていけば描けると思います。
　ちなみに、完成させたグラフは次のようになると思います。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2%2By%5E2%29%5E2%3D2%28x%5E2-y%5E2%29

問2(1)
　与えられた被積分関数が曖昧です。
　(1+xy)^2は分母にあるのでしょうか。分子にあるのでしょうか。
　恐らく分母にあるつもりで書かれていると思われますので、それで計算してみます。

∫∫D [y/{(1+y^2)(1+xy)^2}]dxdy, D={(x,y)| 0≦x≦y, y≦1}
=∫[y:0→1] y/(1+y^2) dy ∫[x:0→y] 1/(1+xy)^2 dx
=∫[y:0→1] y/(1+y^2) [1/{y(1+y^2)}-1/y] dy
=∫[y:0→1] y/(1+y^2) y/(1+y^2) dy
=∫[y:0→1] {y/(1+y^2)}^2 dy
=∫[θ:0→π/4] [tanθ/{1+(tanθ)^2}^2 dθ/(cosθ)^2　　←　y=tanθ で変数変換。dy=dθ/(cosθ)^2, y=0のときθ=0, y=1のときθ=π/4
=∫[θ:0→π/4] (sinθ)^2 dθ
=∫[θ:0→π/4] {1-cos(2θ)}/2 dθ
=π/8-1/4

お礼

グラフまで用意していただき有難うございました
(1+xy)^2は分母です。｛｝で括るべきでした

回答No.1

aquatarku5

1.
(1)f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)=0に対し、
　　f(x,-y)　即ちx軸に対し上下反転した式はどうなるでしょうか？
　　y軸に対し左右反転する場合も同様です。
(2)x=rcosθ、y=rsinθを代入し、与式をr及びθを用いた式とします。

2.
Dは、(0,0)、(0,1)、(1,1)の3点を結ぶ三角形の内部及び境界。
よって、積分範囲は、0<=x<=y、0<=y<=1で考えればよい。

I=∫∫D　{ y / (1 + y^2)(1 + xy)^2 } dxdy
=∫_0^1{y/(1+y^2)}dy・∫_0^y{(1+yx)^2}dx
=∫_0^1{y/(1+y^2)}dy・1/(3y)・{(1+y^2)^3-1}
=1/3・∫_0^1{(1+y^2)^2-1/(1+y^2)}dy
→あとはよろしくお願いします。

お礼

有難うございます
かなり参考になりました