微積分

質問

∬D x-y/(x+y)3乗 dxdy

D:0≦x≦1，0≦y≦1

この積分値はxyの順に解くのとyxの順に解くので答えがかわり
奇関数を使い求めた積分値も違ってきます

その理由ってなんでですか?

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

実は、二重積分(元の式そのもの)と、
逐次積分(質問者さんが計算されたように、文字ごとに順に積分していく積分)は、
本来は、別のもので、いつでも、二重積分を逐次積分で求められる訳ではありません。
ご質問の問題は、逐次積分の順序で値が変わるという、正にうまく行かない例の方です。

普通は、
1. 逐次積分していい方が、問題に出やすいこと。
2. 実は逐次積分にしていい条件は、そんなにシビアでなく(と聞いてます^^)、
　普通の関数だと、割とうまくいってしまうこと、
のために、できない例には、余りお目にかかれませんが、
時々、いつでもそうしていいんじゃないんだよ、ということを
示すのに、問題として出たりします。
(ご質問の問題は、何回か見たことがあるので、きっと、好例なんでしょう)

ダメな場合の条件、というのは、ちょっと難しそうなのですが、
ご質問の問題の場合だと、(x+y)^3が分母にあって、
(x,y)→(0,0)で、関数が発散してしまうこと、あたりが鍵かと。
(発散する奴は、絶対ダメ、という訳でもなさそうなので、
あらかじめ、ダメかどうかを知るには、さらに条件が要ると
思いますが、逆に、こういう、発散や不連続など、すんなり
していない部分がない普通の関数だと、逐次積分していい、
と言う方は大丈夫みたいです)

お礼

とてもわかりやすかったです!!
ありがとうございます!!

回答No.2

alice_44

関数が発散するかどうかより、重積分が収束していれば、
逐次積分も収束して、逐次の順番に依らないんですが。
質問の例では、(x,y)=(0,0) の近傍で
二重積分が発散しているから、だめなんでしょうね。

あまり参考にならない参考→ http://lokad.jp/PDF/LS_ans.pdf
リーマン積分版が見つからなかった。

お礼

ありがとうございます！
助かりました!!