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積分の最小値の問題がわかりません

R×R上の連続な関数f(x,y)>=0, ∬ f dxdy = 1, ∬(x^2+y^2) f dxdy < ∞（ただし、∬はx, yについて[-∞,∞]での積分を意味するものとする）。このとき、 (1) 以下のコーシー・シュワルツの不等式を示せ（これはできました）。 {∬xy f dxdy}^2 <= ∬x^2 f dxdy × ∬y^2 f dxdy (2) ∬{y-g(x)}^2 f dxdy を最小にするxの関数 g(x) を求めよ。 おそらく(1)の不等式を使うのでしょうが、どうすればg(x)が一意に定まるまでに変形できるのかがわかりません。 よろしくお願いします。

みんなの回答

回答No.1

g(x)を全く一般の関数とすると∬{y-g(x)}^2 f dxdy の存在が保証されません。∬ f dxdy = 1, ∬(x^2+y^2) f dxdy < ∞という仮定から見ると、g(x)は１次以下の多項式と仮定するのがよさそうです。そこで 　g(x) = ax + b として 　I(a,b) = ∬{y-g(x)}^2 f dxdy とおくと、Iが最小より 　∂I/∂a = 0 　∂I/∂b = 0 この連立方程式よりaとｂを求めることができるのではないでしょうか。

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