解析学の積分問題

質問

現在、教科書で解析学の積分の範囲を勉強をしているのですが、その教科書の章末問題でどうしてもわからない問題があります。

(1) 積文の値を求めよ。
∬[R^2] (x+1)/{(1+4x^2+2xy+y^2)^2} dxdy

(2) 次の広義積分の値を求めよ。
∬[R^2] x^2*exp(-3x^2+4xy-2y^2+2x-1) dxdy

教科書を読み込み、様々なサイトや文献を調べて章末問題のわからないところを解決していったのですが、この2つだけどうしてもわかりませんでした。
わかる人がいれば、できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

e_o_m · ベストアンサー

(1)はぱっと見で思いつかないので他の方に任せます。
(2)についての方針です
exp(-3x^2+4xy-2y^2+2x-1)=exp(-2(y-x)^2-x^2+2x-1)
とexp(-y^2)のガウス積分の形に平方完成出来るのでまずはyで積分しましょう。
同様にexp(-x^2+2x-1)も平方完成すると
x^2*exp(-ax^2)
の形の積分になると思います。この積分は
∫x^2*exp(-ax^2)dx=-∂/∂a(∫exp(-ax^2)dx)=-∂/∂a(√(π/a))=・・・
と計算出来ますね。(確かこれは厳密なやり方でなく、便宜的な計算方法なので数学屋さんに怒られそうですが)

お礼

(2)をヒントのおかげで解くことができました。ありがとうございました。

回答No.2

info22

何らかの自助努力の解答が何も書いてなく、問題のみの丸投げになりますのでマナー違反で削除対象になるかと思います。

全く分からないなら質問することをあきらめ下さい。
ここは解答を作ってもらう所ではありません（問題作成者に対する著作権侵害のおそれのためこのサイトでは問題だけの投稿は禁止事項です）。
少なくても自分で調べて分かるようになって自分の解答を多少とも作れるようになってからここに解答を書いて質問するようにして下さい。

ヒントのみ
片方の変数で実数の全範囲で定積分後、もう一方の変数で実数の全範囲で定積分するだけです。
(1) π/√3
(2) (3/4)π√2

お礼

ありがとうございました。