解析学の積分問題

質問

現在、教科書で解析学の積分の範囲を勉強をしているのですが、その教科書の章末問題でどうしてもわからない問題があります。

(問題) 積分の値を求めよ。
∬[R^2] (x+1)/{(1+4x^2+2xy+y^2)^2} dxdy

分母をyについて平方完成したのち、y+x=a*tanθ、(3x^2+1)^(1/2)=aとおいてθについて積分する。
π(x+1)/(3x^2+1)^(3/2)が出てきたので、√3*x=tanφとおいてφについて積分する。
という方法で計算したところ、2π/√3という結果が出てきました。
しかし、このやり方は少し強引な感じがし、答えにもあまり自信がありません。
もっと綺麗な方法がわかる方は教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

そのままyで積分し、その後xで積分して見ました。
計算は、長くなりますので途中は整理してあります。
yで積分
∫[-∞,∞] (x+1)/{(1+4x^2+2xy+y^2)^2} dy
=[-(y-4)arctan((y+4x)/√(4+3y^2))/(2(4+3y^2)^(3/2))
-(y^2+xy-y-4x+1)/(2(4x^2+2xy+y^2+1)(3y^2+4))][-∞,∞]
=(π/2)(x+1)/(3x^2+1)^(3/2)
これを、次にxで積分
∫[-∞,∞] (π/2)(x+1)/(3x^2+1)^(3/2) dx
=(π/6)[(3x-1)/√(3x^2+1)][-∞,∞]
=π/√3
となります。
（±∞を代入するときは、xで割って極限をとりますが、その際、x<0の方では√の前に「-」の符号がでますので注意して下さい。)

積分の順番をxで積分、次にyで積分するといった逆でも同じ結果になりました。

お礼

回答ありがとうございました。