ベストアンサー

積分の問題です

2011/12/24 20:17

積分領域Ｄ:0≦x≦a,0≦y≦a f(x,y)＝f(y,x)のとき ∬Df(x,y)dxdy＝２∬D_1f(x,y)dxdyを示せこの式は偶関数なので成り立つのだと思いますがその使い方考え方がわからないです!! 教えてください!!

noname#152094

数学・算数
回答数1
ありがとう数1

みんなの回答 （1）
専門家の回答

質問者が選んだベストアンサー

ベストアンサー

info22_
ベストアンサー率67% (2650/3922)

2011/12/24 22:02 回答No.1

I=∬[D] f(x,y)dxdy= =∬[D_1] f(x,y)dxdy+∬[D_2] f(x,y)dxdy =I1+I2 I1=∫[0,a] dx∫[0,x] f(x,y)dy I2=∫[0,a] dy∫[0,y] f(x,y)dx =∫[0,a] dx∫[0,x] f(y,x)dy ←変数を入れ替える。　=∫[0,a] dx∫[0,x] f(x,y)dy ←f(y,x)=f(x,y)なので　=I1 従って I=2I1=2∬D_1f(x,y)dxdy

質問者

お礼 2011/12/24 23:44

ありがとうございます! とてもわかりやすいです(^^)/

関連するQ&A

積分についてです

1.曲線C：r=f(θ) α≦θ≦β　に対して1/2∫[α→β]ｆ(θ)^2dθ 2. 領域D上の関数ｚ=f(ｘ、ｙ)に対して、∬D√{ｆx(x,y)^2+fy(x,y)^2+1}ｄxdy これらの積分はそれぞれどのような値をあたえるのか教えてください。
定積分の問題

[1]変数変換を用いて、次の重積分を求めよ。 ∬D √(a＾２-x^2-y^2)dxdy , D={(x,y);x^2+y^2≦ax} 半径＝aの球を考える。ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝a＾２であり。ｚ＝√(a^2-x^2-y^2)となり、被積分関数は上半球となる。一方、積分領域は D={(x,y);x^2+y^2≦x} ＝{(x,y);（ｘ－a/2）^2+y^2≦（a/2）＾２} となり。中心点（a/2、０）で半径a/2の低円の円柱が切り取る体積をもとめることになります。・積分領域「-π/２、０」の場合ｒ＝acosθ ｘ＝ｒcosθ ｙ＝－ｒsinθ 関数行列式｜D|＝－ｒとなります。つまり dxdyーーーーーー＞－ｒｄθdｒ・・・・・（３） V=∫[-π/2、０]∫[0,acosθ]（－ r）√(a^２-r^2) dr dθ ＝∫[-π/2、０]dθ∫[ 「（１/3）｛（a^2－r^2)＾３/2｝」 [ｒ＝0,acosθ] ＝a^3/3∫[-π/2、０]（sinθ＾３-１）dθ ＝a^3/3[（ーθーcosθ+（１/3）cosθ＾３）[θ＝-π/2、０] ＝（a^3/３）（ーπ/2ー２/3）・・・・・（４）となり、正解（a^3/３）（π/2ー２/3）になりません。どこが間違いでしょうか？
定積分の問題（２）

[1]変数変換を用いて、次の重積分を求めよ。 ∬D √(a＾２-x^2-y^2)dxdy , D={(x,y);x^2+y^2≦ax} 半径＝aの球を考える。ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝a＾２であり。ｚ＝√(a^2-x^2-y^2)となり、被積分関数は上半球となる。一方、積分領域は D={(x,y);x^2+y^2≦x} ＝{(x,y);（ｘ－a/2）^2+y^2≦（a/2）＾２} となり。中心点（a/2、０）で半径a/2の低円の円柱が切り取る体積をもとめることになります。・積分領域「-π/２、０」の場合ｒ＝acosθ ｘ＝ｒcosθ ｙ＝ｒsinθ ヤコビヤン｜J|＝ｒとなります。つまり dxdyーーー＞ｒｄθdｒ・・・・・（３） V=∫[-π/2、０]∫[0,acosθ]（ r）√(a^２-r^2) dr dθ ＝∫[-π/2、０]dθ 「（-１/3）｛（a^2－r^2)＾３/2｝」 [ｒ＝0,acosθ] ＝a^3/3∫[-π/2、０]（1-sinθ＾３）dθ ＝a^3/3[（θ+cosθ-（１/3）cosθ＾３）[θ＝-π/2、０] ＝（a^3/３）（π/2+２/3）・・・・・（４）となり、正解（a^3/３）（π/2ー２/3）になりません。どこが間違いでしょうか
積分の問題で

積分の問題で D:積分範囲 ∬(p*x^2+q*y^2)dxdy={(p+q)/2}*∬(x^2+y^2)dxdy D:0≦x^2+y^2≦a^2 ∫∫∫(a*x^2+b*y^2+c*z^2)dxdydz={(a+b+c)/3}*∫∫∫(x^2+y^2z^2)dxdydz　D:x^2+y^2+z^2 問題を解いていたら上のような式変形が出てきたのですが、なぜ等式がなりたつのでしょうか？？何かの公式でしょうか？？どなたかお願いします。
床関数の積分

床関数の積分教えて頂きたい問題があります。 --------問題--------- 関数f(x,y) = floor(y-x) とする。(floor()は床関数、http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8A%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A4%A9%E4%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0) 積分領域Ｄ：{0<=x<=3,0<=y<=x}　とする。 ∬Ｄ f(x,y)dxdy を計算せよ。 ----------------------- 床関数をどのように積分していいか分かりません。広義積分などを利用するのでしょうか。分かる方、教えて頂きたいです。
２重積分の問題について教えてください。

２重積分の問題で∬D (x+y+1)^2dxdy D領域が x≧0 , y≧0, x+y≦ 1 領域Ｄについて積分する問題で、答えは、17/12になるようなんですが、解いても間違った答えになってしまい困っています。すいませんが詳細なやり方をどなたかご教授下さい。お願いします
積分の最小値の問題がわかりません

R×R上の連続な関数f(x,y)>=0, ∬ f dxdy = 1, ∬(x^2+y^2) f dxdy < ∞（ただし、∬はx, yについて[-∞,∞]での積分を意味するものとする）。このとき、 (1) 以下のコーシー・シュワルツの不等式を示せ（これはできました）。 {∬xy f dxdy}^2 <= ∬x^2 f dxdy × ∬y^2 f dxdy (2) ∬{y-g(x)}^2 f dxdy を最小にするxの関数 g(x) を求めよ。おそらく(1)の不等式を使うのでしょうが、どうすればg(x)が一意に定まるまでに変形できるのかがわかりません。よろしくお願いします。
2重積分の問題教えてください！

Dを（）内の不等式で表される領域とするとき、次の2重積分の値を求めよ。（領域Dも図示せよ。） ∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy (0≦x≦π/2, x≦y≦2x) 2重積分の問題なのですがなかなか答えにたどり着けずにいます。誰か教えていただけないでしょうか？ ∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy =∫[π/2,0]{∫[2x,x]sin(2x+y)dy}dx　ここからが進みません。宜しくお願いいたします。
2重積分の積分区間

次の問題の積分区間の取り方がわかりません。領域D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}のとき、 f(x,y)=x+2yの重積分 ∬Df(x,y)dxdy を求めよ。 yで積分してからxで積分するやり方だと、前者の積分区間が0→x 後者の積分区間が0→1 となり、これはまあなんとなくわかるのですが、 xで積分してからyで積分するやり方だと、前者の積分区間がy→1 後者の積分区間が0→1 となるようなのですが、どうしてこうなるのでしょうか。この積分区間の取り方がよくわからないゆえ、他の問題も全然解けません。どなたか解説をお願いします。
大学の積分の問題です

∬1/√(x^2+y^2)dxdy D＝{(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1} この領域Dでの積分の問題がどうしても解けません。解答をおせていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
重積分

次の重積分について、問題を解いてください。 R>0として、領域D,D_+,D_- が D = {(x,y)|0≦x≦R,0≦y≦R} D_+ = {(x,y)|x^2+y^2≦2R^2,x≧0,y≧0} D_- = {(x,y)|x^2+y^2≦R^2,x≧0,y≧0} で与えられるとき、以下の問いに答えよ。ただし、aは正の定数である。 (1) 2重積分∮∮D e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_+ e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyの大小関係を示しなさい。 (2) 2重積分 ,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyを計算しなさい。 (3) (2)の結果をR→∞としたときの極限値を求めよ。 (4) 定積分∮(0→∞) e^(-ax^2) dx = (1/2)√(π/a) を証明せよ。途中式もお願いします。
2重積分の問題です

次の2重積分の値を極座標に変換して求めよ。Ｄは（）内の不等式の表す領域とし、aは正の定数とする。 (1)　∬D xdxdy (x≧0、y≧0、x^2+y^2≦a^2) (2) ∬D log(x^2+y^2)dxdy (4≦x^2+y^2≦9) よろしくお願いします。
2重積分の問題教えてください！

D={(x,y)｜x^2+y^2≦2x+2y-1} のとき、2重積分 ∫∫[D, ](xy-y)dxdy の値を求めよ。　（領域Dも図示せよ。）よろしく宜しくお願いします。
微分積分について

Ｄ⊂Ｒ＾2:面積確定な有界閉領域f:D→R:連続関数の時、┃∬D f(x,y)dxdy┃≦∬D┃f(x,y)┃dxdyになる証明の解き方を教えてください
重積分

この問題の解き方が分かりません。助けてください。不等式 x^2+y^2<=4a^2, x^2+y^2>=2ax, x>=0 の表す領域をDとしたとき、極座標に変換して次の2重積分を求めよ。ただし、aは正の定数とする。 ∫∫ √(x^2+y^2) dxdy パイ/96
広義積分について

大学の微分積分のテストが追試になってしまい勉強中なのですが、広義積分が良くわからなくって困ってます。どなたかコツみたいなものを教えていただけないでしょうか？（正方形領域や円領域に簡単に近似できるものはわかります。）例えば、次のような問題がよくわかりません。・∬e^(y/x) dxdy D={(x,y)|0＜x≦1,0≦y≦x^2} ・f(x,y)=2(x-y)/(x+y+a)^3,(a＞0)に対して次の値を求めよ。 ∫dx∫f(x,y)dy , ∫dy∫f(x,y)dx (積分範囲はすべて0～∞) どなたか解き方のヒントでもいいのでください。よろしくお願いします。
積分について

A(有界集合)を含む長方形Rの取り方によらずに積分可能であることが決まり、また積分値も取り方によらずに一定である。つまり、 R⊃Aでf(x,y)が積分可能とするとき、ほかの長方形R_1⊃Aをとるとき、R_1でのf(x,y)の積分可能性と∬_(R_1)f(x,y)dxdy=∬_(R)f(x,y)dxdy となることを示したいのですが、わかりません。回答よろしくお願いします。
２重積分

２重積分の質問です。２重積分の計算でＤ＝｛(x,y)|a≦x≦b,ψ1(x)≦y≦ψ2(x)｝のとき ∬f(x,y)dxdy=∫[a→b]｛∫[ψ1(x)→ψ2(x)] f(x,y)dy｝dxですが ∬f(x,y)dxdy=∫[ψ1(x)→ψ2(x)]｛∫[a→b]f(x,y)dx｝dyでも可能でしょうか？？よろしくお願いします。
広義二重積分の問題です。教えてください

広義二重積分の問題です。教えてください、よろしくお願いします。次の広義積分を求めよ。問１、∫∫D　1/(1＋x^2＋y^2)^a/2 dxdy,D＝{(x,y):y≧0} 問2、∫∫D　log(x^2＋y^2)　dxdy,D＝{(x,y):0<x^2＋y^2≦1}
２重積分part２

問１ A=∬D √(a^2-x^2-y^2)dxdy を領域Ｄ:x^2+y^2≦a^2 において２重積分を行なうのですが、これはさっきのと比べながらやろうとしたのですが、領域Ｄは半径ａの円の中であって・・・・・これからどうすれば？問２領域Ｄ:0≦x+y≦1,0≦x-y≦1 のとき A=∬D e^x dxdy を求める。領域を図示してみるとちょうどx=1から負の方向だということがわかったのですが・・・この場合、yの範囲を(x-1)～(-x+1) とすればいいのですか？でもそうするとｘの範囲は？？？頭が正常に機能していないみたいです。助けてください。

積分の問題です

質問者が選んだベストアンサー

お礼 2011/12/24 23:44

関連するQ&A

積分についてです

定積分の問題

定積分の問題（２）

積分の問題で

床関数の積分

２重積分の問題について教えてください。

積分の最小値の問題がわかりません

2重積分の問題教えてください！

2重積分の積分区間

大学の積分の問題です

重積分

2重積分の問題です

2重積分の問題教えてください！

微分積分について

重積分

広義積分について

積分について

２重積分

広義二重積分の問題です。教えてください

２重積分part２

注目のQ&A

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

積分の問題です

質問者が選んだベストアンサー

お礼 2011/12/24 23:44

関連するQ&A

積分についてです

定積分の問題

定積分の問題（２）

積分の問題で

床関数の積分

２重積分の問題について教えてください。

積分の最小値の問題がわかりません

2重積分の問題教えてください！

2重積分の積分区間

大学の積分の問題です

重積分

2重積分の問題です

2重積分の問題教えてください！

微分積分について

重積分

広義積分について

積分について

２重積分

広義二重積分の問題です。教えてください

２重積分part２

注目のQ&A

カテゴリ 一覧

専門家に質問してみよう 専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録