積分についてです

質問

曲面ｚ＝１－xの二乗ーｙ二乗とｘｙ平面とで囲む立体の体積を考えているのですが、重積分にあてはめて、∬１－xの二乗ーｙの二乗ｄｘｄｙ
で計算する方法はあってますか？また、範囲はｘ、ｙとも０から１まででいいのでしょうか。
よろしくお願いします

回答No.3

mmky · ベストアンサー

参考程度に

２重積分で体積を求める場合の考え方まで

Z=f(x,y)--------高さはｚで表現

y=f(-x)○------○y=f(+x)
ｙ：底面の積分区間は円弧
ｘ：-1≦x≦1

z=f(x,y)=1-x＾2-y＾2
z=0, x＾2+y＾2=1, y=±√(1-x＾2), -1≦x≦1
体積V=∫[-1→1]{∫[-√(1-x＾2)→+√(1-x＾2] z dy}dx

{∫[-√(1-x＾2)→+√(1-x＾2)] z dy}=2∫[0→+√(1-x＾2)] z dy}
=2{y-x＾2y-y＾3/3}[0→+√(1-x＾2)] z dy}
=2{√(1-x＾2)(1-x＾2)-(1/3)(1-x＾2)＾3/2}
=2(2/3)(1-x＾2)＾3/2

∫[-1→1]{(4/3)(1-x＾2)＾3/2}dx
=∫[0→1]{(8/3)(1-x＾2)＾3/2}dx
x=sint, dx=costdt, 0≦t≦π/2
=∫[0→π/2]{(8/3)(1-sin＾2t)＾3/2}costdt
=∫[0→π/2]{(8/3)cos＾4t}dt
=(8/3)*(1/4*3*2)(π/2)=π/18

やり方のみなので計算及び値は要確認のこと。

お礼

丁寧に答えてくださってありがとうございました(^o^)/
とてもわかりやすかったです☆★

回答No.4

mmky

#3mmkyです。
計算ミスがありました。
cos＾4tの漸近式がいいかげんでした。ごめん。
修正しておきます。
=∫[0→π/2]{(8/3)cos＾4t}dt
=(8/3)*(3*1/4*2)(π/2)=π/2
再確認してね。
以上

回答No.2

Largo_sp

#1をもし、重積分で解いたなら...　
x,yの範囲は －√(1-z)<x,y<√(1-z)ですよね...
0<z<1としてて計算すれば同じになると思います...
（計算していないのでわかりませんが...）
結果三重積分になるのかなぁ...

回答No.1

Largo_sp

重積分で解いた場合...ｚの要素がなくなっていますよ...

この問題は...z=tの時与えられた式は、Xの二乗をX^2として...

x^2+y^2=1-tとなりますよね...これは、半径が√(1-t)の円ですよねだから面積は(1-t)π
これはxy平面と平行な平面で切った部分の面積です

xy平面とで囲まれるので 0<t<1となるので、π∫(1-t)dt....
です