２重積分を利用して体積を求めよ。

質問

（１）２平面 ｚ＝０、ｚ＝２－ｙ と円柱面 ｘ＾２＋ｙ＾２＝４ で囲まれる部分の体積

（２）３つの座標平面 ｚ＝０、ｙ＝０、ｘ＝０ と平面 ｚ＝２－２ｘ－ｙ で囲まれる４面体の体積

（３）半球面 ｚ＝√（ａ＾２－ｘ＾２－ｙ＾２） とｘｙ平面で囲まれる部分の体積（ａ＞０）

という問題なのですが

どうやって解けばいいのか
分かりません。

土曜日テストなので教えていただきたいです。

回答No.1

info22_

テストならある程度自力努力が必要です。
体積を求める立体の図を描いて積分の式を立てるようにすれば積分の式や範囲に間違いが起こらないでしょう。

なので、ヒントとして、累次積分（逐次積分）による体積の表現のみにしておきます。

（１）
体積V=∫∫∫{0≦z≦2-y,x^2+y^2≦4} dxdydz
　=2∫∫{x^2+y^2≦4} (2-y)dxdy
　=2∫[-2→2]dy∫[0→√(4-y^2)] (2-y)dx
または
　=2∫[0→2] dx∫[-√(4-x^2→√(4-x^2)](2-y)dy

（２）
体積V=∫∫∫{0≦z≦2-2x-y,0≦x,0≦y} dxdydz
　=∫∫{0≦x≦1,0≦y≦2-2x} (2-2x-y)dxdy
　=∫[0→1]dx∫[0→2-2x] (2-2x-y)dy
または
　=∫[0→2] dy∫[0→1-(y/2)] (2-2x-y)dx

三角錐なので積分すれば V= 2/3 となるはず。

（３）
体積V=∫∫∫{0≦z≦√(a^2-x^2-y^2),0≦x^2+y^2≦a^2} dxdydz (a>0)
　=4∫∫{0≦x,0≦y,0≦x^2+y^2≦a^2} √(a^2-x^2-y^2)dxdy
　=∫[0→a] dx∫[0→√(a^2-x^2)] √(a^2-x^2-y^2) dy
または
　=∫[0→a] dy∫[0→√(a^2-y^2)] √(a^2-x^2-y^2) dx
(極座標に座標変換すると良い。）

半径aの半球の体積なので V= (2/3)πa^3 となるはず。

あとは、ご自分でやってみてください。
解答を補足に書いてもらえればチェックします。