二重積分

質問

∫[0～1]∫[0～1] {xy(1-x-y)}^(-1/2) dxdy

という積分が解けません。
わかる方教えていただけませんか？

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

x＞0, y＞0, x+y＜1 の部分だけなら(つまり実部は) 結果は 2√π とかになりそうですが, x+y＞1 の方は純虚数?
そういうおつもりなのでしょうか.

お礼

ちょっと考えてみたら、ご指摘の通り

∫[0～1]∫[0～1-x] (xy(1-x-y))^(-1/2) dxdy

でした。
証明問題をといていたのですが、これで辻褄が合うようになりました。
ご指摘有り難うございます。

回答No.2

haruwaspring

最後に-つけるの忘れてしまいました。
-1/6ね。
でもそもそもが違ってるかもしれません。

お礼

ごめんなさい。問題が違っていたみたいです。

回答No.1

haruwaspring

どうしてまだ誰も回答してないんですかー
理学部や工学部系の人はきっと今日はお休みなんですね。

∫[0～1]∫[0～1]{xy(1-x-y)}^(-1/2)dxdy
＝∫[0～1]∫[0～1](xy-x^2y-xy^2)^(-1/2)dxdy
＝∫[0～1]∫[0～1]2{(yx^2/2)-(x^3y/3)-(x^2y^2/2)}dy
＝∫[0～1]【2{(yx^2/2)-(x^3y/3)-(x^2y^2/2)}】[0～1]dy
＝∫[0～1]【2{(y/2)-(y/3)-(y^2/2)}】dy
＝∫[0～1](y-2y/3-y^2)dy
＝【y^2/2-2y^2/6-y^3/3】[0～1]
＝1/2-1/3-1/3
＝1/6

考え方は合っているはず。
違ってるかもしれないから検算してくださいね。