二重積分、教えて下さい！

質問

以下の問題の解法がわかりません。
教えてください。よろしくお願いします！

∮∮y/(3+x^2y^2)dxdy

B=[0,1]×[0.3]

すいません、、線積分のインテグラルしかなく、普通の積分です。

回答No.2

alice_44

質問に示された通り、まず dx つぎに dy の順番で
計算すると、ちょっとだけ簡潔になります。

xy/√3 = tanθ で置換すると、
与式 = ∫[y=0～3] ∫[θ=0～arctan(y/√3)] 1/√3 dθ dy.
式が ∫ 1/(1+zz) dz に似ていることを考えたからです。

arctan を式から消すために、更に y/√3 = tanφ で置換すると、
与式 = ∫[φ=0～π/3] φ(tanφ)' dφ となって、
部分積分せよと言わんばかりの式形です。
で、部分積分すると、
与式 = [φtanφ]_(φ=0～π/3) + ∫[φ=0～π/3] (cosφ)'/(cosφ) dφ
= π/√3 - log 2 です。

回答No.1

info22_

I=∫[x:0,1] dx∫[y:0,3] y/(3+x^2*y^2) dy
=∫[x:0,1] dx [(1/(2x^2))log(3+x^2*y^2)] [y:0,3]
=∫[x:0,1] (1/(2x^2)){log(3+9x^2)-log(3)} dx
=(1/2)∫[0,1] (1/x^2)log(1+3x^2) dx
部分積分して
I=(1/2){[-(1/x)log(1+3x^2)][0,1]+∫[0,1] 6/(1+3x^2)dx}
=(1/2){[lim(x→+0)(1/x)log(1+3x^2)]-log4+2√3[tan^-1(√3x)][0,1]}
ロピタルの定理を用いて
I=(1/2){[lim(x→+0) 6x(1+3x^2)]-2log2+2√3(π/3)}
=(1/2){-2log2+2√3(π/3)}
=(π/√3)-log2
(ただしlogは自然対数）

お礼

ありがとうございます！
助かりました😁