変数変換を用いた積分

質問

∬D(x+y)^3dxdy D={(x,y)|x^2+2xy+2y^2≦1}

上記の積分の問題なのですが自分なりに考えて見たところ答えが0となってしまい正しいのか自信がありません。皆さんのお力をお借りしたいです。回答よろしくお願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

質問表題どおり変数変換すると具体的な計算で0になることが示せます．

u=x+y
v=y

とするとD：(x+y)^2+y^2≦1はuv平面の単位円および内部u^2+v^2≦1に移ります．そして，

x=u-v
y=v

∂x/∂u=1,∂x/∂v=-1
∂ｙ/∂u=0,∂y/∂v=1

であるからヤコビアンは

|∂(x,y)/∂(u,v)|=1・1-(-1)・0=1

したがって

∬D(x+y)^3dxdy

=∬_{u^2+v^2≦1}u^3dudv

ここで

u^2+v^2≦1

⇔-1≦v≦1,-√(1-v^2)}≦u≦√(1-v^2)

であるから，累次積分すると

∫_{-1}^1dv∫_{-√(1-v^2)}^{√(1-v^2)}u^3du

uの積分は奇関数u^3の[-√(1-v^2),√(1-v^2)]における積分なので0になります．したがって

∫_{-1}^1dv0=0

になります．

お礼

回答有り難うございます。
途中式まで丁寧に書いていただきわかりやすいです。

回答No.3

Tacosan

おっと, 画竜 (というほどでもないが) 点睛を欠いた. #1 は「積分領域で被積分関数が連続かつ有界」って条件もいるわ.

(いわゆる) 広義積分になるといろいろ面倒なので.

回答No.1

Tacosan

積分領域が有界かつ原点に関し対称, 被積分関数 f(x, y) が f(-x, -y) = -f(x, y) を満たすので積分結果は 0.

お礼

回答有り難うございます。
どうやら計算しなくても答えは出たみたいですね。
参考にさせて頂きます。