微分積分 領域Ｄの求め方です。

質問

閲覧有難う御座います。

次の領域Ｄはどうやって求めるのでしょうか？
式だけでなく、言葉でも説明していただけると、とても嬉しいです。

(1)４直線　y=x y=x＋4 y=-x y=-x＋2 で囲まれた領域をＤとするとき２重積分

∬（下にD）(x＋y)^2 dxdy

の値を座標軸を　π/4 回転することによって求めよ。

です。宜しくお願いします。

回答No.2

info22_

D={(x,y)|0<=x+y<=2,0<=y-x<=4}
座標軸を半時計方向にπ/4回転すると
(x,y)は(X,Y)に回転移動し
　X=(x+y)/√2,Y=(y-x)/√2 の関係からDはD'に移る。
　D'={(X,Y)|0<=√2X<=2,0<=√2Y<=4}
　　={(X,Y)|0<=X<=√2,0<=Y<=2√2}
（回転移動前の領域Dと移動後のD'の図をそれぞれ描いてみるとわかり易いかと思います。）

回転移動なので
　dxdy=dXdY
　(x+y)^2=2X^2
積分領域 D → D'
から

I=∬_(D) (x＋y)^2 dxdy
=∬_(D') 2X^2 dXdY
=∫[0,2√2] {{∫[0,√2] 2X^2dX}dY
変数分離できて
={∫[0,2√2] dY}*{{∫[0,√2] 2X^2dX}
=2√2*(2/3)(√2)^3
=16/3

なお、座標軸を反時計方向にθ回転した時の元の座標(x,y)と移動後のXY座標系の座標(X,Y)の間の関係式は、どの教科書にも載っていると思いますが
　X=xcosθ+ysinθ, Y=-xsinθ+ycosθ
です。今の場合θ=π/4ですね。

回答No.1

Ae610

領域[D]の4頂点の座標は各々
(x,y) = (0,0) (1,1) (-1,3) (-2,2)
原点の周りのπ4の座標軸回転を施す事によって
領域[D']の4頂点の座標
(X,Y) = (0,0) (√2,0) (√2,2√2) (0,2√2)
・・・となる。
(x,y)を(X,Y)で表して
∬[D]{(x + y)^2}dxdy をX,Yの表現式に変換して
∬[D']f(X,Y)dXdYを求めればよい。
すると積分範囲がX:0→√2 , Y:0→2√2
・・となってX,Y独立に積分する事が出来る・・・！

計算間違えとかしてなければ
∬[D]{(x + y)^2}dxdy = 16/3