高校数学

質問

‪x2+y2=1のとき、‬
‪z=x+2y+3の極値を求める‬
‪という問題なのですが、‬
‪x=cosθ,y=sinθで代入して合成するのがいいでしょうか？解法解説お願いします。‬

回答No.2

178-tall

x2+y2=1 の (x, y) は xy 座標上で単位円。
たとえば z=x+2y+3 の極大値なら、 {x, y} がともに正値のとき、極小値は {x, y} がともに負値のとき、らしい。

たとえば極大値なら、
　z = x+2y+3 = x + 2√(1-x^2) + 3
の右辺の微分が零になる (x, y) ＞ (0, 0) の点。

つまり、
　z' = 1 + 2√(1-x^2) + 3 = 0
になる (x, y) ＞ (0, 0) の点。
　　　　　↓
　z' = 1 + 2x/√(1-x^2) = 0
から、x = 1/√5 , y = 2/√5 , z = 5/√5 + 3 = 3 + √5 。

… などかナ？

回答No.1

info222_

[解答方法1]
>x=cosθ,y=sinθで代入して合成するのがいいでしょうか？
それでもいいでしょう。

[解答方法2]
z=x+2y+3=k とおいて x=k-2y-3 をx^2+y^2=1 に代入してできる y の2次方程式の 実数条件からk=z範囲から極値を求めることもできます。