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数学の別解
2009年の一橋大学の問題です。 （問題） (1)任意の角θに対して、-2≦xcosθ+ysinθ≦y+1 が成立するような点(x,y)の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。 (2)任意の角α、βに対して、-1≦x^2cosα+ysinβ≦1 が成立するような点(x,y)の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。 学校で配布されている参考書の演習問題のページに乗っていた問題なのですが、合成するのが定石のようです（現に私もそう解きました） ですが、cosθをX、sinθをYと置いて領域として解く方法もあると書いてありました。 要するに、 Xx+Yy+2≧0 Xx+Yy-y-1≦0 X^2+Y^2=1 を満たすX,Yを図示するというものです。 しかし、X,Yを定数扱いすると分かっていながらも、実際解くと行き詰ってしまいます。 この解法で処理する方法をお教え下さい。
- hyottokotunes
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- mister_moonlight
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＞合成するのが定石のようです（現に私もそう解きました） ＞ですが、cosθをX、sinθをYと置いて領域として解く方法もあると書いてありました。 cosθ＝α、sinθ＝β とすると、α＾2＋β＾2＝1.‥‥(1) xcosθ+ysinθ → xα+yβ＝k ‥‥(2) は直線。従って、(1)と(2)が実数解を持つと良い。 後は、点と直線との距離の公式を使うだけ。 しかし、これは見かけが違うだけで、本質的には“合成する方法”と大して変わらないよ。 (別解) tanθ/2＝mとすると、cosθ＝(1-m＾2)/(1+m＾2)、sinθ＝(2m)/(1+m＾2)だから、mの2次不等式が常に成立する条件を求める事になる。 mは全ての実数だから、判別式だけで解決する。 (注) (2) 任意の角α、βに対して、-1≦x^2cosα+ysinβ≦1 これは、座標も、合成も、上の別解も効かない。 さて、どうするか？
- kacchann
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>Xx+Yy+2≧0 >Xx+Yy-y-1≦0 >X^2+Y^2=1 >を満たすX,Yを図示するというものです。 そうではなく、 「Xx+Yy+2≧0 Xx+Yy-y-1≦0 X^2+Y^2=1 がすべてのX,Yに対し成立するようなx,yの条件を求める」(A) だと思います。 --- で、このAはどのように考えていけばいいのか？ ヒントとしては、 変数が4つあると考えると わけわからないので、 とりあえずx,yは定数とみて考えてみて。 そうすれば「よくある、XY座標平面上のグラフの問題」 に帰着できそうな気も。円と直線だけだし。 --- Xx+Yy+2＝0をグラフ(1) Xx+Yy+2≧0を不等式(1) Xx+Yy-y-1＝0をグラフ(2) Xx+Yy-y-1≦0を不等式(2) X^2+Y^2=1をグラフ(3) とすれば あとはXY座標平面のグラフ上で考えれば、 (A)は 感覚的に言えば、 「グラフ(1)とグラフ(2)の間に グラフ(3)が完全に収まる」 ということだから、 これはつまり・・・、 「グラフ(3)がグラフ(1)(2)の両方と交点をもたず、 原点が不等式(1)(2)の両方を満たす」 と言い換えられるのかな？ あんまり厳密にチェックしてませんけど。
お礼
なるほど…。問題の意図自体を取り違えていました。 定数扱いをする問題はよく見ますが、いざ解いてみると難しいものですね。 もう一度考え直してみます。ありがとうございました。
http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-date-200904-3.html 何かの参考になるかもしれません
お礼
この解法とは別のものなのです。
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