高校数学問題。至急教えて下さい！！

質問

領域に関する問題です。
解答が省略されてしまっているので、分からず困っています(;□;)
数学は苦手なので、なるべく詳しく教えて下さい。
よろしくお願いします・・・

（１）座標平面上で、｜ｘ＋ｙ｜≧ｘ2乗＋ｙ2乗　を満たす領域を図示

（２）座標平面上で、y{y－（1＋√2）ｘ}≦０、｜ｘ＋ｙ｜≧ｘ2乗＋ｙ2乗
　　　を満たす領域を図示

（３）（２）の領域の面積を求めよ。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

（１）ｘ＋ｙの値により場合分けし、円の式に持ち込みます。
　ｘ＋ｙ＞＝０のとき、ｘ＋ｙ＞＝ｘ＾２＋ｙ＾２
　ｘ＾２－ｘ＋ｙ＾２－ｙ＜＝０
　（ｘ－１／２）＾２＋（ｙ－１／２）＾２＜＝１／２　・・・（ａ）

　ｘ＋ｙ＜０のとき、－ｘ－ｙ＞＝ｘ＾２＋ｙ＾２
　（ｘ＋１／２）＾２＋（ｙ＋１／２）＾２＜＝１／２　・・・（ｂ）

　（ａ）は（１／２、１／２）を中心とする半径√２／２の円の円周および内部のうちｙ＝－ｘよりも上の領域です。
　（ｂ）は（－１／２、－１／２）を中心とする半径√２／２の円の円周および内部のうちｙ＝－ｘよりも下の領域です。

（２）ｙ（ｙ－（１＋√２）ｘ）＜＝０より
　　ｙ＜＝０かつｙ＞＝（１＋√２）ｘ　・・・（ｃ）
　　または　ｙ＞＝０かつｙ＜＝（１＋√２）ｘ　・・・（ｄ）

（ｃ）はｘ軸より下、かつ直線ｙ＝（１＋√２）ｘより上の領域です。
（ｄ）はｘ軸より上、かつ直線ｙ＝（１＋√２）ｘより下の領域です。

　これと、（１）で求めた領域を組み合わせればいいです。

　＊「より上」「より下」と書いていますが、等号付きの不等号の場合は境界を含みます。
（３）少々お時間を頂きたく。

お礼

分かりやすく教えてくださり、ありがとうございました（*^ ^*）
本当に助かりました♪

回答No.5

info22

#4です。

添付した図が古い方でしたので今回の図に差換えて下さい。

回答No.4

info22

(1)添付図の２つの円の内部（黄色で塗り潰した領域）と境界線。

(2)添付図の斜線を施した領域（水色のハッチング領域）と境界線。

(3)図のように各点の記号をつけると
(2)の領域の対称性を利用して積分をする。
S=2{∫[0,1/2] (1+√2)xdx
　　+∫[1/2,1] [(1/2)+√(1/2-(x-1/2)^2)] dx
-2∫[1,(1+√2)/2] √(1/2-(x-1/2)^2) dx}
={(2+√2)/4}+(3/8)π

[別解]積分を使わないで余弦定理と三平方の定理を使って解く方法
S=2(△OAB+扇形DAEB-△DAB)
ここで、
∠ADB=2∠AOB=2θ
cosθは△AOBに余弦定理を適用。
OB=AB,OC=CD=1/2,BD=AD=OC√2,BC=CD+BD=(1+√2)/2
OB^2=OC^2+CB^2
△OAB=OC*BC/2
△DABはヘロンの公式から求める。
扇形DAEB=(AD^2)*θ=θ/2
などの関係を使う。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

添付図、ありがとうございました♪
よく分かりました。

回答No.3

gohtraw

＃２です。お待たせしました。必ず図を書いて考えて下さい。
（３）求める領域は、原点に関して対称な形をしているので、ｙ＝－ｘよりも上にある部分の面積を求めて、それを２倍します。
　この領域は、
　円　（ｘ－１／２）＾２＋（ｙ－１／２）＾２＝１／２
　直線　ｙ＝（１＋√２）ｘ　
　ｘ軸
のみっつで囲まれた領域になります。原点をＯ，円の中心をＣ、円とｘ軸の交点をＰ、円と直線　ｙ＝（１＋√２）ｘの交点をＱとしてＰとＱの座標を求めます。
　Ｐ：円の式においてｙ＝０とおくと
　　（ｘ－１／２）＾２＋１／４＝１／２
　　これを解くと（ｘ、ｙ）＝（１、０）および（０，０）です。後者は原点なので除外します。
　Ｑ：ｙ＝（１＋√２）ｘを円の式に代入して
　　（ｘ－１／２）＾２＋（（１＋√２）ｘ－１／２）＾２＝１／２
　　これを解くと（ｘ、ｙ）＝（１／２、（１＋√２）／２）および（０，０）です。後者は原点なので除外します。
　Ｑからｘ軸に垂線を下ろしてその足をＲとすると、求める領域は二つの直角三角形ＯＱＲ、ＣＰＲと扇形ＣＱＰに分けられます。三角形ＣＱＰの辺の長さは１／２、１／２、√２／２なのでこれは直角二等辺三角形です。従って角ＲＣＰは４５°となり、扇形ＣＱＰの中心角は１３５°です。あとは三角形二つと扇形の面積を求めて合計し、２倍すれば完了です。

回答No.1

cnocc

(1)場合わけ
I)x+y≧0のときx+y≧x^2+y^2→1/2≧(x-1/2)^2+(y-1/2)^2
x+y≧0と1/2≧(x-1/2)^2+(y-1/2)^2の重なる領域を図示
II)x+y＜0のときx+y≧x^2+y^2→1/2≧(x+1/2)^2+(y+1/2)^2
x+y＜0と1/2≧(x+1/2)^2+(y+1/2)^2の重なる領域を図示
(2)場合わけ
I)y＜0,y-(1＋√2)x≧0→y≧(1＋√2)xつまり
y＜0とy≧(1＋√2)xの重なる領域を図示
II)y＞0,y-(1＋√2)x≦0→y≦(1＋√2)xつまり
y＜0とy≦(1＋√2)xの重なる領域を図示
　(1),I),II)を組み合わせる

お礼

（１）も（２）も場合わけで考えればよかったのですね。
ありがとうございます！