軌跡の問題です

質問

座標平面上の点（p，q）はx2乗＋y2乗≦8，y≧0で表される領域を動く。点（p＋q，pq）の動く範囲を図示せよ。なんですが、回答が写 メのようになっています。なぜ第二象限だけダメなのかわかりません。どなたか教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

条件より
　p^2+q^2≦8 ...(1)
　q≧0 ...(2)
このとき
　x=p+q,y=pq ...(3)
の動く範囲は,
２次方程式の解と係数の関係からp,qは
　t^2-xt+y=0 ...(4)
なるtの解がp,qであるから
　p,q={x±√(x^2-4y)}/2 ...(5)
p,qの実数条件から
　x^2-4y≧0　→ y≦(1/4)x^2 ...(6)
(1),(3)から
　p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=x^2-2y≦8 → y≧(1/2)x^2-4　...(7)
(2)のq≧0の条件は
(5)のqがどちらの解をとるか分からないのでどちらの場合であっても条件を満たす必要があります。
～～～～～～～～～～～
(6),(7)の条件の下で以下のqの２つの場合を合わせたのが
求める点(p+q,pq)の存在領域になります。
～～～～～～～～～～～
　q={x+√(x^2-4y)}/2≧0　のとき
　 x≧-√(x^2-4y)
　　x≧0のとき常に成立→(6),(7)で挟まれた領域が解。
　　x<0の時 (0<)-x≦√(x^2-4y) →　x^2≦x^2-4y → y<0
　　　(6),(7)で挟まれた領域中、第三象限の範囲が解。

>なぜ第二象限だけダメなのかわかりません。
　(6),(7)で挟まれた領域中、第二象限だけが除かれていますね↑。
または
　q={x-√(x^2-4y)}/2≧0　のとき
　 x≧√(x^2-4y)
(6),(7)で挟まれた領域の(x,y)については√(x^2-4y)≧0なので
　 x≧0　→　x^2≧x^2-4y → y≧0
　(6),(7)で挟まれた領域中、第一象限の範囲だけ解。
([注意]第二象限～第四象限の範囲は存在しません。）

お礼

こちらも丁寧なご回答ありがとうございました。よくわかりました。