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Q(p+q, pq)の動く範囲で,y≧0の条件?

ご教示お願いします。 問題:座標平面上の点 ( p, q )は x^2 + y^2 ≦8, y ≧ 0 で表される領域を動く。 点Q (p+q, pq )の動く範囲を図示せよ。 この解答で,X = p+q, Y = pq とおいて,XとYの関係式 X^2 - 2 Y ≦ 8 ・・・・・・(1) を作り,かつ, t^2 - Xt + Y =0 ・・・・・・(2) が実数解を持つことから,この判別式 D = X^2 - 4 Y ≧ 0 ・・・・・・ (3) までは考えたのですが, 問題にある“ y ≧ 0” をどのように反映させてよいかがわかりません。 よろしくお願いいたします。

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  • 回答No.3
  • hrsmmhr
  • ベストアンサー率36% (173/477)

No.1の補足についてですが (p,q)=(x,y)だと固定する必要はありません。 x+yもxyも対称式なので入れ替えてもいいのです。 (p,q)=(0,-1)だとして(2)の解は(x,y)=(1,-1),(-1,1)が存在するわけですが Qの領域としては(x,y)=(-1,1)がy>=0の領域に含まれるために 対応する(p,q)=(0,-1)は、y>=0という領域からの像に含まれていることが分かります p-q平面の各点は2つのx-y平面の各点が(二つの解がある範囲で)二つずつ対応するのだと思います 2次式t^2-Xt+Y=0が(0を含む)正の解を持つ条件は 1)t=0のときの2次式の値0^2-0*X+Y=Y<=0(正と負の解の場合) 2)軸が正でt=0のときの2次式の値0^2-0*X+Y=Y>=0(正の解二つの場合) となります

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質問者からのお礼

補足の丁寧な回答ありがとうございます。 後半の2)は,グラフをイメージして,初めて,理解できました。

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その他の回答 (5)

  • 回答No.6

yを反映させることは、No.4さんが解答しているとおりで、ご自身の注意力に寄るしかなさそうですね。それと(X,Y)の満たす領域をグラフにすると、注意力アップしますよ。 まだ締め切りしないから、余計なことを書きます。きっと釈然としないんでしょうか? 点(X,Y)の満たす範囲は  Xヘ2/2-4<=Y、X^2/4>=Y,とYの場合分け(ここが質問ですが、No4さんが解答している。)ともう一つXの範囲  すなわち X=p+q・・(1) p^2+q^2<=8・・・(2) 横軸をp,縦軸をqとすれば(2)の半径2√2の円のp軸の上半分の半円を動く点(p,q)について直線 q=-p+X・・(1)'のq切片にあたるXの動く範囲を求めればいい。 (1)と(2)のグラフを書けばXの最小値は(P,q)=(-1,0)のとき、最小値X=-2√2。Xの最大値は(1)’をp^2+q^2=8に代入して判別式=0よりXを求めて、正の方のXだから、 X=4 まとめて-2√2<=X<=4としてグラフを書くとイメージがわきます。 P.S(実はP=rsinθ、q=rcosθ (0<=r<=2√2、o<=θ<=π)とおいても解けます。でも解答速度は変わらないし、質問事項ではありませんでした。)

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質問者からのお礼

丁寧な解説ありがとうございます。 やはり,グラフをイメージするところから考えることの大事さが, よくわかりました。

  • 回答No.5

yを反映させることは、No.4さんが解答しているとおりで、ご自身の注意力に寄るしかなさそうですね。それと(X,Y)の満たす領域をグラフにすると、注意力アップしますよ。 まだ締め切りしないから、余計なことを書きます。きっと釈然としないんでしょうか? 点(X,Y)の満たす範囲は  Xヘ2/2-4<=Y、X^2/4>=Y,とYの場合分け(ここが質問ですが、No4さんが解答している。)ともう一つXの範囲  すなわち X=p+q・・(1) p^2+q^2<=8・・・(2) 横軸をp,縦軸をqとすれば(2)の半径2√2の円のp軸の上半分の半円を動く点(p,q)について直線 q=-p+X・・(1)'のq切片にあたるXの動く範囲を求めればいい。 (1)と(2)のグラフを書けばXの最小値は(P,q)=(-1,0)のとき、最小値X=-2√2。Xの最大値は(1)’をp^2+q^2=8に代入して判別式=0よりXを求めて、正の方のXだから、 X=4 まとめて-2√2<=X<=4としてグラフを書くとイメージがわきます。 P.S(実はP=rsinθ、q=rcosθ (0<=r<=2√2、o<=θ<=π)とおいても解けます。でも解答速度は変わらないし、質問事項ではありませんでした。)

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  • 回答No.4

>問題にある“ y ≧ 0” をどのように反映させてよいかがわかりません。 y ≧ 0さえ保証されれば、xは正でも負でもかまわない。と、言う事。 t^2 - Xt + Y =0 とする。もちろん、 x^2 + y^2=X^2-2Y≦8 だが、問題はその上でどうするか。 (1) x≧0、y≧0 の時 これが実数解を持つから判別式≧0、2解の和=X≧0、2解の積=Y≧0 が条件。 (2) x≦0、y≧0 の時 2解の積=Y≦0 が条件。この時、判別式≧0 は保証されている事くらいは分かるだろう。 X^2-2Y≦8 の上で、(1)、or、(2)の条件を加えると良い。

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  • 回答No.2

q≧0かつp<0のとき、f(t)=t^2-Xt+Yとすれば、f(0)=Y≦0ですよ。 q≧0かつp≧0のときX≧0かつY≧0ですから(等号を含めてもよいことに注意してください。)、求める領域は2つの放物線(1),(3)で囲まれた領域のうち第2象限を除いた範囲(すべての境界を含む)ということになります。

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  • 回答No.1
  • hrsmmhr
  • ベストアンサー率36% (173/477)

(2)の少なくとも一方が正の解を持てばいいです 少なくとも正の解をyとすれば、Q=(x+y,xy)を満たす(x,y(>=0))は存在するわけですから

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質問者からのお礼

早速のご回答ありがとうございます。 ただ,y >=0 (q >=0 )の条件の下で, p > 0 のとき,Y > 0 , X > 0 より,二つの関数に挟まれた第1象限は,題意を満たします。 しかし, p < 0 のときは,不明です。 同様に, y<0 の条件の下で, p < 0 のときは,X < 0 かつ Y > 0 となり,これは,題意を満たさない領域ですから除外すればよいことがわかります。 しかし, p > 0 のときは不明です。 ここで詰まっていまして,,,ご教示,よろしくお願いいたします。

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