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座標の問題についてです。
aを正の定数とする。放物線P:y=ax^2上の動点Aが放物線P上のすべての点を動くとき、座標平面上でy>0の表す領域において、どの円Cの内部にも含まれない点がある。この点の集まりを図示せよ。 答えは(0,1/4a)を中心とする半径1/4aの円内部(境界含み、原点を除く) ですが、なぜ境界を含むのか分かりません。 A(t,at^2) とすると,Cは (x-t)^2+(y-at^2)=(at^2)^2 x^2-2tx+t^2+y^2-2at^2y+(at^2)^2=(at^2)^2 (1-2ay)t^2-2xt+x^2+y^2=0 どのCの内部にも含まれない(x,y)は すべてのtについて,(1-2ay)t^2-2xt+x^2+y^2≧0・・・(1) (1)の x^2-(1-2ay)(x^2+y^2)という判別式で 虚数解の時は実数tが存在しませんが、重解の時も実数tが存在しないのはなぜでしょう? (ここで重解となると実数tが存在しないとなるため、答えに境界を含むとなっている訳ですが…) 詳しく教えていただきたいです。 よろしくお願い致します
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- spring135
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円Cの方程式は (x-t)^2+(y-at^2)^2=(at^2)^2 tについて整理すると (1-2ay)t^2-2xt+x^2+y^2=0 1)y≠1/2aのとき (x,y)はtが実数のとき存在しうる、つまりその点を通ることができるが tが虚数の時通れない。よって D=x^2-(1-2ay)(x^2+y^2)<0 2ax^2y+2ay^3-y^3<0 a>0なので y(x^2+y^2-y/2a)<0 y>0の範囲なので x^2+(y-1/4a)^2<(1/4a)^2 従って 中心(0,1/4a),半径1/4aの円の内部である。 質問者の言うように境界は含まない。境界では実数の重解であるので通ることができる。 2)y=1/2aのとき x^2-2xt+1/4a^2=0 (x-t)^2=t^2-1/4a^2 x=t±√(t^2-1/4a^2) xを実数にするtを選ぶことができるので通過する。
- spring135
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円Cの条件が不明です。どうやら中心がAで半径が中心のy座標の値のようですが その点を明示してください。
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補足
説明不足でした。すみません。 円Cは点Aを中心とし、x軸に接する円です。 よろしくお願いします。