放物線と円の共有点・接点

質問

放物線と円の共有点・接点

放物線y=x^2+aと円x^2+y^2=9について、次のものを求めよ。
(1)この放物線と円が接するとき、定数aの値

指針:放物線と円の共有点についても、これまで学習した方針で考えればよい。つまり共有点←→実数解 接点←→重解

(1)y=x^2+aからx^2=y-a これをx^2+y^2=9に代入して(y-a)+y^2=9
よってy^2+y-a-9=0・・・・(1)
[1] 放物線と円が２点で接する場合
２次方程式(1)は重解をもつ。(1)の判別式をＤとするとＤ＝4a+37=0
a=-4/37
[2]放物線が円と１点で接する場合
図（図がうまく書けないので省）から、点(0,3),(0,-3)で接する場合でa=+-3

教えてほしいところ
１何故、放物線と１点で接する場合はｘ＾２を連立して判別式＝０で求めることができないんですか？？
２何故、４点で接する、３点で接する場合などはｘ＾２で連立して判別式で解決することができないんですか？？

難しい質問だと思いますが、理屈で説明できる方教えて下さい。

回答No.2

yamada355 · ベストアンサー

まず、[1]で重解を持てばよいのはなぜか、理解しましょう。
これは幾何学的にいえばグラフがy軸で対象であることを使って、yの二次方程式に落とし込んでいます。
つまり、グラフが対象なので、yが解を持てば、+x, -xの2点を表すことになります。
もし、この条件がなければこの形式の一般解は4つ存在する(4次方程式)ことになります。
(回答は簡単ではないですが、放物線をx軸にそって平行移動すればそのような状態になります)

さて、この性質を使うと、[1]の2つの解が重なるというのはy軸の解が1点に近づくことで、意味的には2つの重解を求めようとする操作であることがわかります。

なので判別式で答えを出したのだと思いますが、これだけでは十分ではありません。
この代入は、すべてのxが実数解を持って初めてOKだといえます。
実際、質問者の回答なら僕は満点を与えません。
代入して実数解となることを確認した回答だけに満点を与えます。

この代入の裏側では実は、x^2+y^2=9の式がxとyは[-3,3]になければいけないと言っています。
(グラフの問題なのでxとyは実数であることを前提としていますよね)

ここで、問いのなぜ求められないかという話に戻ります。
答えから逆算してしまいますが、a=3のとき、[1]で使った式を解けば、y=3と-4になります。
つまりこれは交点を高々2つしか持たないこと(y軸に正射影すれば1つ)を言っています。

つまりyだけみていても重解とはならないのです。
繰り返しますが、yが重解という条件は、左右対称なのでグラフから見れば2点の重解を持つことと同義です。

ここで、ちょっとずるをして答えから、y=x^2+a に、y=3とa=3を代入して解けば、x=0で重解となることはすぐにわかります。

このxが重解であるかどうかという判断は、yの式だけを見てもわかりません。
やりかたがすでに分かっている以上、幾何的に考えるのが一番楽です。

2は自明です。
代数的に言えば、本質的に4次方程式であるのだから、重解は高々2つです。
幾何的に言っても3点、4点で接する絵は描けないですよね。

以上です。
一つアドバイスをするなら、グラフ問題は実数解の取りうる範囲を考えるとよいでしょう。
多くの場合、裏に実数であるという条件が眠っています。

回答No.3

R_Earl

まず最初に誤りを見つけたのでそこを報告します。

> ２次方程式(1)は重解をもつ。(1)の判別式をＤとするとＤ＝4a+37=0
> a=-4/37

ここはa = -37/4ですよね。

それでは本題に入ります。
そもそも何故判別式を使うと接するかどうか判定できるのかが分かりますか？

y^2 + y - a - 9 = 0という方程式は
放物線と円の交点のy座標を求めるためのものです。
交点のy座標は、解の公式を用いると
y = (-1 ± √D) / 2
となります(Dは判別式のDと同じものです)。

D > 0の時、yの交点の座標は(-1 + √D) / 2と(-1 - √D) / 2です。
例えばx^2 + y^2 = 9とy = x^2 - 4をグラフ上に書いてください。
交点が4つできると思いますが、上2つの交点のy座標が(-1 + √D) / 2、
下2つの交点の座標が(-1 - √D) / 2となります。

aの値を調整してD = 0となると、
交点のy座標はy = (-1 ± √D) / 2 = y = (-1 ± 0) / 2となります。
これは先ほど考えた「上の交点」と「下の交点」が重なった事を意味します。
これが接する状況です。
たとえばですが、aの値を-7から-37/4に徐々に変化させていく様子を
想像してみてください
(つまり放物線のy切片が-7から徐々に下がっていって、
最終的にy切片が-37/4になる様子を想像して下さい)。
そうすると上の交点と下の交点が徐々に近づいて、
最終的に重なる事が確認できると思います。

D < 0となるとyの交点の座標y = (-1 ± √D) / 2が虚数となります。
よって「交点のy座標は(実数の範囲では)存在しない」となります。

以上をまとめると、yの二次方程式の判別式を利用した場合、
D = 0は「上の交点と下の交点が重なって接する」という状況を判別できる
ということが分かります。

しかしa = -3の場合とa = 3の場合は違います。
まずa = -3の場合について考えます。
y = x^2 + aのaの値を-2から-3に変化させてく様子を想像してみてください
(つまり放物線が上から下に向かって移動して、最終的にa = -3になるような状況です)。
この時aを-3に近づけると、
「右の交点と左の交点が重なっていく」というような状況になります。
なのでyの二次方程式の判別式を使っても接するかどうかが判定できません。
yの二次方程式の判別式で判定できるのは、
「上の交点と下の交点が重なって接する」という状況だけだからです。

a = 3も同様で、こちらも例えばaの値を2から3に変化させていくと、
「右の交点と左の交点が重なっていく」というような状況になります。

補足

R_Earlさんお久しぶりです。（僕のことなんて覚えてないか・・）
非常にわかりやすかったです。数学を得意まではいかなくても、人並みレベルになりたいです！！
これからも、お暇な時に回答頂けると幸いです。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

指針から解説（？）では、yの 2次方程式を考えることで答えが導かれています。
そして、「教えてほしいところ」では「xの方程式で考えてはいけないの？」というのが大筋になってきます。

ですので、xの方程式で考えてみましょう。
y＝ x^2+ aを円の方程式に代入して
x^2+ (x^2+ a)^2＝ 9
(x^2)^2+ (2a+1)*x^2+ a^2-9＝ 0

出てくる方程式は 4次方程式になっています。
が、x^3や xの項がありません。
この方程式が重解をもつときを考えると、次の 2とおりが考えられます。
(1) x^2＝ 0となって、x＝ 0という重解が得られる場合
(2) x^2＝ t（t＞ 0）とおいたときの 2次方程式：t^2+ (2a+1)t+ a^2-9＝ 0が重解をもつとき

(1)からは a＝±3、(2)からは a＝-4/37が得られます。

いまのように x^2のみで表せるような高次の方程式で「重解」を扱うとき、
その重解の取り方に注意が必要です。
・x^2自体は、x^2≧ 0でなければならない。
・x^2＝ 0となるときは、x＝ 0という重解が得られる。
・x^2＝ t＞ 0なる解が得られるときは、x＝±√tという解が得られる。
このときは、t自体が（tの 2次方程式の）重解になっている。

本題に戻りますが、結果 xの方程式で考えても答えは導き出せます。
上にも書いたように特殊な高次方程式になっているので扱いが単純ではないということです。

そして、なぜこんな「特殊な高次方程式」になってしまうのか。
これも訳があります。
それは、考えている放物線も円も y軸（x＝ 0）に対して対称だからです。
一方の x座標が求まれば、もう一方の x座標は±の関係（線対称な位置）になります。
ということは、これらの x^2の値は同じになります。
結果、方程式には x^2しか現れないのです。

線対称であることがわかっていると、4点や 3点で接することができないことはわかると思います。
（放物線でなく、4次関数とかであれば 3点で接するようにはできると思います。）

理屈や論理的とよく書かれていますが、いまの問題で実際に xの方程式を考えましたか？
実際に計算してみれば、xの方程式からも解けることは見えてくるはずです。
（図などがあれば、どういう状況かからも見えてくるはず）
解説を「眺める」のではなく、実際に手を動かして考えてみてください。

せっかくいい発想をしているのに、もったいないですよ。＞＿＜

補足

naniwacchiさん何時も、詳しく的確な回答有り難う御座います。
僕、本当に数学苦手なんですが、やる気だけはあります。
これからも、お暇な時に回答頂けると幸いです。