放物線と円の共有店・接点

質問

放物線y=x＾2＋a・・・(1) 円x＾2＋y＾2=9・・・(2)

この放物線と円が接するとき、定数aの値
まずです
解説には、２点で接する場合と１点で接する場合があると書いてあるんですが
この問題最大４点まで接しますよね？
なのになぜ２点までなんでしょうか？

次に
解答に
i)放物線と円が２点で接する場合
２次方程式(1)は重解を持つ
この後判別式D=0をするんですが

２点で接するのになぜ重解を持つんでしょうか？
意味不明すぎて泣きそうです

ii)放物線と円が１点で接する場合
図（図はないです・・ごめんなさい；）から点（０，３）点（０、－３）で接する場合で
点（０，３）のほうならわかります・・・ですが点（０、－３）は放物線と円で３点接しますよね？
１点でないのになぜ１点で接する場合で場合分けの対象に入ってるんでしょうか？

質問が多くなってしまいごめんなさい
よろしくお願いします！

回答No.4

OurSQL · ベストアンサー

問題集の解答が理解しづらいなら、以下の説明を参考にしてください。

放物線 (1) と 円 (2) が接する場合、接点の個数は a の値によって 1 か 2 のどちらかです。

接点の個数が 1 の場合、a = 3 か a = －3 です。

a = 3 の場合、放物線 y = x^2 + a と 円 x^2 + y^2 = 9 の共有点（接点と交点は、どちらも共有点です）の x 座標は、x に関する四次方程式　x^2 + (x^2 + 3)^2 = 9 を解いて求めます。
この方程式は x = 0 を重解にもち、それ以外に実数解をもちません。
よって、点 (0, 3) が接点（重解の場合は接点、単解の場合は交点）で、ほかに共有点はありません。

a = －3 の場合、放物線と円の共有点の x 座標は、x に関する四次方程式 x^2 + (x^2 － 3)^2 = 9 を解いて求めます。
x = 0 が重解で、x = √5 と x = －√5 が単解です。
よって、点 (0, －3) が接点で、(√5, 2) と (－√5, 2) が交点です。

次に、放物線 (1) と 円 (2) の接点の個数が 2 の場合を考えます。
この場合も、放物線と円の共有点の x 座標は、x に関する四次方程式 x^2 + (x^2 + a)^2 = 9 ・・・ (**) の解となっています。
接点の個数が 2 なので、(**) は重解を2つもちます。
同様に、y に関する二次方程式 (y － a) + y^2 = 9 ・・・ (##) は、解を（重複度を込めて）2つもちます。
(**) の2つの重解を p, q とすると、放物線と円の接点は、(p, p^2 + a), (q, q^2 + a) と表せます。
よって、(##) の2つの解は p^2 + a と q^2 + a となります。
ところが、放物線 (1) も 円 (2) も y軸に関して対称なので、実は q = －p が成り立ちます。
同じく p^2 + a = q^2 + a も成り立つので、結局 (##) は重解をもつことが分かります。
ここまでくれば、あとは (##) の判別式 D = 0 を解いて、a の値を求めるだけ。
2つの接点の座標も、簡単に計算できます。

お礼

理解して満足しちゃいまして締め切るのを忘れていました＞＜

4度も回答していただきありがとうございました！
3つめの回答のyに対しての方程式と考えている←これでピンときまして
この回答の解説で理解が出来ました
本当にありがとうございました！

回答No.7

stomachman

「接する」という言葉を「交点がある」という意味だと誤解なさっているのでしょう。たとえば放物線
　　y = x^2
とx軸とは(x,y)=(0,0)で接しており、一方
　　y = x^2-1
とx軸とは2つの交点(-1,0), (1,0)を持つけれども、接してはいません。

お礼

そうなんです・・
完全に誤解していました
交点を持つなら接するにも入るだろ！と愚かな考えを・・・

ありがとうございました！

回答No.6

mister_moonlight

見かけは座標の問題だが、方程式に転化してしまえば、なんの事はない。

x＾2＝y-a≧0、これを　x＾2＋y＾2=9に代入すると　f(y)＝y＾2＋y-a－9＝0
よって、これが条件を満たすためには
(1)　f(y)＝0が重解を持つ時　判別式＝0から　a＝-37/4.この時　f(y)＝0から　y＝-1/2.　x＾2＝y-aからxは出る。
(2)　f(y)＝0が　y＝aという重解を持つ時　代入するとa＝±3.これをx＾2＝y-aとy＾2＋y-a－9＝0に代入するだけ。

座標の問題だからと言って、座標にこだわる必要はない。このように方程式に転化した方が簡単な場合がある。
逆の場合もある。
一つの方法にこだわらず、いろんな発想を試したらよい。それが数学の上達法でもある。

お礼

解等にこたわらず自分で解法を導き出せるように早くなりたいです！
ありがとうございました！

回答No.5

info22_

>放物線y=x＾2＋a・・・(1)
>円x＾2＋y＾2=9 ・・・(2)

>この放物線と円が接するとき、定数aの値
>解説には、２点で接する場合と１点で接する場合があると書いてあるんですが

>この問題最大４点まで接しますよね？
接する時の図を描いてみて下さい。
４点で接する事はありません。

>なのになぜ２点までなんでしょうか？
最大２点でしか接することはできませんのでこれは正しいです。
２点で接する場合と一点で接する場合とがあります。
添付図で確認して下さい。

図のA、Bが一点で接する場合であり、図のC,Dが２点で接する場合です。
点Aで接する場合　a=3, 接点はA(0,3）
点Bで接する場合　a=-3, 接点はB(0,-3)
点Cと点Dの２点で接する場合 a=-37/4, 接点はD(√35/2,-1/2)とC(-√35/2,-1/2)

接点A,Bの座標は次のように求めます。
(1),(2)でx=0として
　y=a,y^2=9
　∴y=a=±3
　a=3,A(0,3) と a=-1,B(0,-3)

接点C,Dの座標は次のように求めます
　(1)から　x^2=y-a ...(3)
　これを(2)に代入して
　y-a+y^2=9
　y^2+y-(a+9)=0 ...(4)
重解条件より判別式D=1+4(a+9)=4a+37=0 ∴a=-37/4
このとき(4),(1)から　y=-1/2（重解)
(3)から　x^2=-1/2+37/4=35/4 ∴x=±√35/2
　a=-37/4, C(-√35/2,-1/2), D(√35/2,-1/2)

と求まります。

お礼

図まではっていただきありがとうございました！
とてもわかりやすかったです！

回答No.3

OurSQL

No.1 で書いた

>「２点で」の部分はどうでもよく（ちょっと言いすぎ？）、接するから重解を持つのです。

という部分、全面的に撤回します。

朝っぱらから、どうも失礼しました。

回答No.2

OurSQL

ちょっと付け足します。

> ２点で接するのになぜ重解を持つんでしょうか？
この場合、(1) を x に関する二次方程式ではなく、y に関する二次方程式と考えているのです。
(2) より、x^2 = 9 － y^2
これを (1) に代入して、y = (9 － y^2) + a
整理して、y^2 + y － (a + 9) = 0
この二次方程式の判別式 D = 0 より、a の値が求まります。

回答No.1

OurSQL

「接する」と「交わる」の違い、理解できていますか？

あと、

> ２点で接するのになぜ重解を持つんでしょうか？
「２点で」の部分はどうでもよく（ちょっと言いすぎ？）、接するから重解を持つのです。