円と放物線が1点で接する条件

質問

放物線：y=x^2　...(1)　と　円：x^2+(y-a)^2=r^2 (r>0) ...(2)
が1点で接する条件に関してです。

私の解答は
[解答]
(1)と(2)からxを消去すると、y^2-(2a-1)y+a^2-r^2=0 ...(3)
明らかにy=0が接点なので、a^2-r^2=0　つまりa=±r

(i)a=-rのとき
明らかに他の条件はない。

(ii)a=rのとき
3点で接するようなaの値未満である必要がある。
3点で接するのは(3)の判別式D=0
これよりa=1/2が得られる。
したがって、a<1/2かつa=r

A. a=-r あるいは a=rかつa<1/2[答終]

としました。
上記の解答は(i)と(ii)と場合分けをしていたり、「明らか」とか「3点で接するようなaの値未満である必要がある。」などの曖昧な表現があるなど、個人的に気持ち悪い解答になっている気がします。
そこで質問は、もっときれいな、場合分けなど必要のないビシッと答えが定まるような解き方はありませんか？

どなたか教えてください。
ちなみに上記の解答は正しいか分からないので、もし間違いがあればそれも指摘していただけると嬉しいです。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

曲線と曲線が接するという事は、接点で共通接線を持つことを意味している。

放物線(1)も、円(2)もy軸に関して対称だから、(1)と(2)が接するならば、必ず2つの接点を持つ。
従って、1点で接するためには、原点で接しなければならない。

一般に、接点(α、α＾2)における(1)と(2)の各々の接線は　y-2αx＋α＾2＝0、αx＋(α＾2-a)y＋a＾2-r＾2-aα＾2＝0　であるから、これらでα＝0とすると、a＾2＝r＾2
この時、円(2)はy=x^2　と連立すると y(y-2a＋1)=0になるから、y≧0　に解を持たない事により　2a-1＜0

お礼

回答どうもありがとうございます。

なるほど。このような解き方もあるんですね。
参考になります！

回答No.3

mister_moonlight

＞これらでα＝0とすると、a＾2＝r＾2

上の説明の続きで、次の説明を追加しといて。

この時、共通接線は　y＝0　(＝x軸)になる。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

【私の解答】について
次の内容が言えれば、少しは楽かと。
-----------------------------------------------------------
y＝ 0以外の共有点をもつとき、
その共有点の x座標は x＝±t（t≠ 0）の形となり、
共有点が 2つ以上存在することになる。
よって、接点の y座標は 0であり、それ以外の共有点はもたないことが条件。
-----------------------------------------------------------

＞y=0が接点なので、a^2-r^2=0　つまりa=±r
ここをもう少し、式から考えてみると
y^2-(2a-1)y+a^2-r^2=0 ...(3)が y＝ 0を解にもたなければならないので、
a^2-r^2=0　つまりa=±r

そして、(3)式は
y^2-(2a-1)y=0
y* { y- (2a-1) }= 0

つまり、この方程式は y＝ 0と y＝ 2a-1を解にもつことになります。

ところで、r＝ ±aというのは
r＝ aのとき、円は x軸（y＝ 0）の上側にある → y座標は 0以上
r＝ -aのとき、円は x軸（y＝ 0）の下側にある → y座標は 0以下

と言い換えることもできます。
この y座標に対する場合分けを方程式の解に結びつけてみると

(i) r＝ -aのとき
円上の点の y座標は 0以下であり、a＜ 0でもあるから
y- (2a-1)＝ 0なる解は存在しない。
よって、方程式(3)の解は y＝ 0のみとなる。

(ii) r＝ aのとき
円上の点の y座標は 0以上であり、a＞ 0であるから
y＝ 2a-1なる解が存在しないための条件は 2a-1＜ 0となる。
このとき、方程式(3)の解は y＝ 0のみとなり、題意が満たされる。

ところでこの問題、
y座標で論じるよりも、x座標で論じた方がわかりやすいかもしれません。

yを消去して整理すると
x^4- (2a-1)* x^2 + a^2- r^2＝ 0 ...(3a)式

となります。
ここで、x^2＝ uとおくことで 2次方程式に置き換わります。
u＝ 0以外の解が存在すると、(3a)式の解は 2つ以上存在することになります。
（この 2次方程式の形は先のものと同じですし、冒頭の囲んだ内容とかぶっています）

u＝ x^2≧ 0ということを用いると、もう少し場合分けでの進め方が楽になると思います。
場合分けは、先と同じ r＝ aと r＝ -aの場合分けになります。
（u≧ 0を使えることで、円が x軸の上下というところまでは言わなくてもいいはずです）

いずれにしても、r＝ aと r＝ -aの場合分けは必要になりそうですね。
もっときれいな表現や解法もあると思います。
いろんな方の意見を参考にしてみてください。＾＾；

お礼

丁寧な解説どうもありがとうございます。
なるほどxで話を進めると分かりやすいですね。
他の人の意見も参考にしてみます！