３点を通る放物線が存在する条件は、何でしょうか？

質問

「p<q<r とします。
３点 A(p,s),B(q,t),C(r,u)を、条件p<q<rを満たす３点とするとき、
この３点をすべて通過するxy平面上の放物線が存在する必要十分な条件は何か、求めよ。」
という問題を考えています。

私は高校数学は理解できますので、自分で答えが出せるはずなのですが、ごっつい式になって、止まっています。

アドバイスでも、解答でも、最終の条件でも、結構です。よろしくお願いします。

回答No.8

keyguy · ベストアンサー

ケアレスミスが1箇所
もし線形代数をかじっていれば：

問題：
p<q<rのとき
3点(p,s),(q,t),(r,u)をとおる曲線が
aが0でない適当な実数でありb,cがそれぞれ適当な実数であるとき
y=ax^2+bx+c
であらわされるための必要十分条件を示せ

回答：
[s] [p^2 p 1][a]
[t]=[q^2 q 1][b]
[u] [r^2 r 1][c]
であり
｜p^2 p 1｜
｜q^2 q 1｜=-(p-q)(q-r)(r-p)≠0
｜r^2 r 1｜
(有名なVandermondeの行列式)であるからa,b,cは
[a] [p^2 p 1]^(-1)[s]
[b]=[q^2 q 1] [t]
[c] [r^2 r 1] [u]
と「一意に」定まる
(a,b,c)=(0,b,c)となるならば
[s] [p 1]
[t]=[q 1][b]
[u] [r 1][c]
であるが
線形代数の連立1次方程式の定理により
これを満たす(b,c)が存在するための必要十分条件は
[s p 1]
[t q 1]
[u r 1]
の階数と
[p 1]
[q 1]
[r 1]
の階数が等しいことであるがそのための必要十分条件は
|s p 1|
|t q 1|=0
|u r 1|
である(このとき両階数は2になる)
従って先の「一意に」に注意すると
|s p 1|
|t q 1|≠0
|u r 1|
であることがa≠0であるための必要十分条件である事がわかる

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.9

stomachman

補足説明です。
（keyguyさんのご回答のように）ご質問の場合、行列の二次形式で書いても、もちろん構わないのです。
すなわち、A,B,Cを通る放物線が直線になってしまわない必要十分条件は
「ラグランジュの２次の多項式：s(x-q)(x-r)/((p-q)(p-r))+t(x-p)(x-r)/((q-p)(q-r))+u(x-p)(x-q)/((r-p)(r-q)) のx^2の係数が0でない」
ことであり、これはすなわち
s/((p-q)(p-r))+t/((q-p)(q-r))+u/((r-p)(r-q))≠0
ですね。この式の分母を払ってみれば
s(q-r)+t(r-p)+u(p-q)≠0
となり、ですから
|s p 1|
|t q 1|≠0
|u r 1|
とも書けます。そしてこれはもちろん、
「A,Bを通る直線上にCがないこと」
という条件と全く同じです。

ついでながら、（N次の)ラグランジュ補間は元来、測定値(x[j],y[j]) (j=0,1,2,....,N)が得られているとき、それ以外のxにおけるyを多項式で補間計算するために、「x y平面上の任意のN+1個の点を通るxのN次式 y=f(x)」を作るもので、
y=Σ(y[j](Π(x-x[k]))/(Π(x[j]-x[k])))
と書けます。（ここに、Σはj=0,1,2,...,Nについての和、二つ出てくるΠはk=0,1,2,...,N(ただしk≠j)についての積です。）
ちなみに、数値積分で使う台形公式は1次、シンプソンの公式は2次、のラグランジュ補間を使って積分を行うのだと解釈でき、ですから、もっと高次の補間多項式を使うこともできます。特にx軸の刻みが一定間隔であるとき、高次のラグランジュ補間を使う数値積分法は「ニュートン・コーツ型の公式」と呼ばれます。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.7

keyguy

もし線形代数をかじっていれば：

問題：
p<q<rのとき
3点(p,s),(q,t),(r,u)をとおる曲線が
aが0でない適当な実数でありb,cがそれぞれ適当な実数であるとき
y=ax^2+bx+c
であらわされるための必要十分条件を示せ

回答：
[s] [p^2 p 1][a]
[t]=[q^2 q 1][b]
[u] [r^2 r 1][c]
であり
｜p^2 p 1｜
｜q^2 q 1｜=-(p-q)(q-r)(r-p)≠0
｜r^2 r 1｜
(有名なVandermondeの行列式)であるからa,b,cは
[a] [p^2 p 1]^(-1)[s]
[b]=[q^2 q 1] [t]
[c] [r^2 r 1] [u]
と「一意に」定まる
(a,b,c)=(0,b,c)となるならば
[s] [p 1]
[t]=[q 1][b]
[u] [r 1][c]
であるが
線形代数の連立1次方程式の定理により
これを満たす(b,c)が存在するための必要十分条件は
[s p 1]
[t q 1]
[u r 1]
の階数と
[p 1]
[q 1]
[r 1]
の階数が等しいことであるがそのための必要十分条件は
|s p 1|
|t q 1|≠0
|u r 1|
である(このとき両階数は2になる)
従って先の「一意に」に注意すると
|s p 1|
|t q 1|≠0
|u r 1|
であることがa≠0であるための必要十分条件である事がわかる

回答No.6

keyguy

まだわからないところが少し残っていますが:
プレゼン能力の欠如を反省して

問題：
p<q<rのとき
3点(p,s),(q,t),(r,u)をとおる曲線が
aが0でない適当な実数でありb,cがそれぞれ適当な実数であるとき
y=ax^2+bx+c
であらわされるための必要十分条件を示せ

回答：
[s] [p^2 p 1][a]
[t]=[q^2 q 1][b]
[u] [r^2 r 1][c]
であり
｜p^2 p 1｜
｜q^2 q 1｜=-(p-q)(q-r)(r-p)≠0
｜r^2 r 1｜
であるから
[a] [p^2 p 1]^(-1)[s]
[b]=[q^2 q 1] [t]
[c] [r^2 r 1] [u]
である
ここでaだけを求めると
a=-((q-r)s-(p-r)t+(p-q)u)/(p-q)/(q-r)/(r-p)
必要十分条件はa≠0すなわち
(q-r)s-(p-r)t+(p-q)u≠0
だからそれをかっこ良く書き換えて
必要十分条件は
|s p 1|
|t q 1|≠0
|u r 1|
である

回答No.5

stomachman

３点 A(p,s),B(q,t),C(r,u)を、条件p<q<rを満たす３点を通る、放物線の軸がｙ軸に平行である放物線

ラグランジュ補間そのものです。

y=s(x-q)(x-r)/((p-q)(p-r))+t(x-p)(x-r)/((q-p)(q-r))+u(x-p)(x-q)/((r-p)(r-q))

三つの項はいずれもxの二次式であり、従ってこれは放物線を表しています。
第一項はx=pのときs、x=qのとき0、x=rのとき0。
第二項はx=pのとき0、x=qのときt、x=rのとき0。
第三項はx=pのとき0、x=qのとき0、x=rのときu。
ですから、A,B,Cを通ることは自明です。

さて、右辺を展開したとき、x^2の項が「たまたま」0になってしまって直線になることもある。もちろんA,B,Cが直線上にあるとき、そのときだけですね。それ以外はいつでも、A,B,Cを通る放物線が存在します。

お礼

ラグランジュの補間というのですか？面白い式ですね。
３点Ａ，Ｂ，Ｃを通るように、実によくできた式ですねぇ。
ご回答ありがとうございました。

回答No.4

keyguy

誤解があるかもしれないのでもっと詳しく
直線上の3点を通る放物線は半直線であるということを信じない人を説得するためにももっと詳しく

問題：
p<q<rのとき
3点(p,s),(q,t),(r,u)をとおる曲線が
aが0でない適当な実数でありb,cがそれぞれ適当な実数であるとき
y=ax^2+bx+c
であらわされるための必要十分条件を示せ

回答：
[s] [p^2 p 1][a]
[t]=[q^2 q 1][b]
[u] [r^2 r 1][c]
であり
｜p^2 p 1｜
｜q^2 q 1｜=-(p-q)(q-r)(r-p)≠0
｜r^2 r 1｜
であるからa≠0に限定しなければ実数a,b,cは存在する
従って必要十分条件はa≠0である
ところで
-(p-q)(q-r)(r-p)a=(q-r)s-(p-r)t+(p-q)u
従って必要十分条件は(q-r)s-(p-r)t+(p-q)u≠0である
すなわち必要十分条件は
|s p 1|
|t q 1|≠0
|u r 1|
である

お礼

まだわからないところが少し残っていますが、じっくり読んだら解決できそうに思います。
詳しいご回答ありがとうございました。

回答No.3

noname#24477

３点が一直線上にないこと

例えば傾きで
(s-t)/(p-q)≠(t-u)/(q-r)

お礼

こちらだと、高校１，２年生でも、学習した人にはわかります。
３点が一直線上にないならば
３点を通る放物線が必ず存在する。
逆に、３点を通る放物線が存在するならば、その３点は
一直線上にない。

なるほど。感覚的によくわかりました。
ご回答ありがとうございました。

補足

この問題では、「ただし、放物線の軸がｙ軸に平行である放物線で考えてください」」という条件を書き忘れていました。
--------------------------------------
下の回答者の方の記述と同じであることを確かめるために、
かっこをはずして、計算してみます。
(s-t)/(p-q)≠(t-u)/(q-r)
両辺に(p-q)(q-r)をかけて分母を払うと、
(s-t)(q-r)≠(t-u)(p-q)
sq-sr-tq+tr≠tp-tq-up+uq
(sq-sr-tq+tr)-(tp-tq-up+uq)≠0
sq-sr+tr-tp+up-uq≠0
s(q-r)+t(r-p)+u(p-q)≠0
------------------------------------------
３点が一直線上にないとなぜ、
(s-t)/(p-q)≠(t-u)/(q-r)
となるか、について疑問ある方は、別質問をしてください。

回答No.2

keyguy

問題：
p<q<uのとき
3点(p,s),(q,t),(r,u)をとおる曲線が
aが0でない適当な実数でありb,cがそれぞれ適当な実数であるとき
y=ax^2+bx+c
であらわされるための必要十分条件を示せ

回答：
|s p 1|
|t q 1|≠0
|u r 1|
この式は大学1年の線形代数から瞬間的にでるが
No.1でa≠0の条件からも出る

お礼

ご回答ありがとうございました。
--------------------------------------------
[回答に対する補足]中の訂正。
「D1≠0 とD1≠0 が同値というのはすぐにはわかりませんねぇ。」
というところの「D1≠0 とD1≠0」はもちろん、「D1≠0 とD2≠0」の誤りです。

補足

[s] [p^2p^2 p 1][a]
[t]=[q^2 q 1][b]
[u] [r^2 r 1][c]
の逆行列が存在しないことと、
|s p 1|
|t q 1|≠0
|u r 1|
は同値なのですか？
------------------------------------------------
（自問自答）
３次の行列の行列式は、サラスの公式で求まりますね。
上の３次の行列の行列式を D1 、下の行列式を　D2 とすると、
D2 = s*q*1+p*1*u+1*r*t-1*q*u-1*t*p-1*r*s　
= sq + pu + rt -qu -pt - rs
= s(q - r) + u(p -q) + t(r -p)
上の行列の要素と下の行列式を見比べると、
１列目だけ代わっていることに気づく。
そこで、D2 の式のs,t,uを、p^2,q^2,r^2に代えて、
D1 = p^2*(q - r) + q^2*(p -q) + r^2*(r -p)
と求まる。
---------------------------------------------
D1≠0 とD1≠0 が同値というのはすぐにはわかりませんねぇ。
大学1年の線形代数は、あまり覚えていませんので。
---------------------------------------------
私が連立方程式を立てて高校生のように解いたところでは、
E=(p-q)(q-r)(r-s)として、
a ={s(r-p)+t(q-r)+u(p-q)}/E
b = -{s(r^2-p^2)+t(q^2-r^2)+u(p^2-q^2)}/E
となりました。残った c を、c = u - a*r^2 - b*r
で求める気がしなかったので、この質問をしました。
------------------------------------------------
[No.1でa≠0の条件からも出る] 　
a の式で、分母　E=(p-q)(q-r)(r-s)≠0
a≠0なら、分子　s(r-p)+t(q-r)+u(p-q)≠0
左辺はD2に等しいからD2≠0
・・・、と言いたいけど、微妙に違いますねぇ？
　D2 =s(q-r)+u(p-q)+t(r-p)
D2,もしくは　aの式 が間違っている？

回答No.1

keyguy

焦点が準線上に有る場合すなわち直線も放物線に含めるならば放物線は常に存在するのでは？
準線がｘ軸に平行でない場合もあるので3点から一意に定まることはないと思いますが

準線がx軸に平行な場合に限定すれば一意に常に定まるのでは？
y=ax^2+bx+c
とすれば
[s] [p^2 p 1][a]
[t]=[q^2 q 1][b]
[u] [r^2 r 1][c]
でありp<q<rであれば係数行列の行列式が0でないから
a,b,cが一意に定まる

お礼

「準線がx軸に平行な場合に限定」ということを言い忘れていました。
「行列式が0でない」ならば、逆行列が存在する。
これを両辺にかければ、ただ1組の　a,b,c　が求まる。
大変明快です。
ご回答ありがとうございました。