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ベクトルが三角形の周と内部を表す条件について

 まず平面ベクトルだけで考えます。  三角形 ABC において、BC 上の点を P とするとき点 B, P, C が一直線上にある条件は   t + u = 1 を満たす適当な実数 t、u により   AP↑= tAB↑+ uAC↑.  点P を表す座標(斜交座標)として (t,u) を採用すると、AP↑は 点A(1,0) と 点B(0,1) を結ぶ直線上を動く。さらに   t ≧ 0, u ≧ 0 ・・・・・(#1) という条件を加えると AP↑は 線分AB 上を動くので   0 ≦ t,u ≦ 1  したがって(#1)に   t + u ≦1 という条件を加えるとAP↑は A, B, C を頂点とする三角形の周と内部を表す。  次に三角形 ABCを含む平面を空間内の平面とする。平面外の点を O、平面上の点を P とすると   OP↑= OA↑+ tAB↑+ uAC↑     = OA↑+ t(OB↑- tOA↑) + u(OC↑- OA)↑     = (1-u-t)OA↑+ tOB↑+ uOC↑.   s = 1 - u - t とすると   s + t + u = 1.  これに   0 ≦ s,t,u ≦ 1・・・・・(#2) という条件を追加すると OP↑は A, B, C を頂点とする三角形の周と内部を表せるということなのですが、この条件(#2)をきちんと導けません。

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  • 回答No.1

質問者がつまづいているのはベクトル自体ではなく,単なる不等式の処理ではないですか。 点Pが△ABCの周および内部の点であることで, AP↑= tAB↑+ uAC↑ t ≧ 0,u ≧ 0 ,0≦t + u ≦1 (0≦t≦1,0≦u≦1,t + u ≦1でも同値です) が言えています。 そして,   OP↑= OA↑+ tAB↑+ uAC↑     = OA↑+ t(OB↑- tOA↑) + u(OC↑- OA)↑     = (1-u-t)OA↑+ tOB↑+ uOC↑. において   s = 1 - u - t としたときに(s+t+u=1) 0≦t + u≦1より,-1≦-(t + u)≦0,0≦1-(t + u)≦1 つまり,0≦s≦1を得ます。 これで,s+t+u=1,s≧0,t≧0,u≧0 (質問者の#2の不等式と同値です)

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質問者からのお礼

ああ、そうなんですね。すっきりしました。

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