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【ベクトル】

苦手なベクトル問題です(><) ベクトルの記号を→で示しています。 例)ABベクトル…AB→ 座標平面上の原点をOとし、A(1/3、0) B(0、2/3)とする。 負でない実数s、tは、s+2t=3を満たしながら動くものとする。 このとき、座標平面上の点PをOP→=sOA→+tOB→により定める。 (1)点Pの存在範囲の図示 (2)内積AP→・AP→の最小値 ガイドが少し載っていたのですが、 希望があれば追記しますm(__)m 解法つきでお願いしたいです(/_;)

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  • 回答No.2
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

>座標平面上の原点をOとし、A(1/3、0) B(0、2/3)とする。 >負でない実数s、tは、s+2t=3 …(1)を満たしながら動くものとする。 >このとき、座標平面上の点PをOP→=sOA→+tOB→ …(2)により定める。 P(x,y)とおく。ベクトルOP=(x,y) ベクトルOA=(1/3、0),ベクトルOB=(0、2/3) (2)に当てはめると (x,y)=s(1/3、0)+t(0、2/3)より x=(1/3)s,y=(2/3)tだから、s=3x,t=(3/2)y (1)に当てはめると、3x+2×(3/2)y=3より、x+y=1 負でない実数s、tより、 s=3x≧0より、x≧0  t=(3/2)y≧0より、y≧0 >(1)点Pの存在範囲の図示 x+y=1,x≧0,y≧0の囲む部分で境界も含む。 >(2)内積AP→・AP→の最小値 x+y=1より y=1-x…(3) 内積AP→・AP→=|AP|^2 AP=OP-OA=(x-(1/3),y) |AP|^2=(x-1/3)^2+y^2 (3)を代入して整理する      =2x^2-(8/3)x+10/9      =2(x-2/3)^2+2/9 よって、内積AP→・AP→の最小値は2/9(x=2/3,y=1/3のとき) でどうでしょうか?

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  • 回答No.1
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

s=3-2tなのでこれを OP=sOA+tOB に代入して OP=(3-2t)OA+tOB 各ベクトルの成分は OA=(1/3、0) OB=(0,2/3) なので、点Pの座標は ((3-2t)/3、2t/3)=(1-2t/3、2t/3) したがって点Pはxy平面上の直線x+y=1 上にあることが判ります。・・・(1) ここで、s>=0でないといけないので 3-2t>=0 t<=3/2 よって0<=t<=3/2 したがって点Pの存在範囲は上記(1)の0<=x<=1の範囲となります。 AP同士の内積ということはAPの絶対値の二乗、つまりAP間の距離の二乗ということです。問(1)より、点Pの座標はtを用いて表すことができるので、APの距離の二乗を計算(多分tの二次式)し、最小値を元得れば宜しいかと。

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