数IIIの放物線の問題です

質問

放物線y^2=4px上の点（a,b)における接線の方程式は

by=2p(x＋a)

であることを証明せよ。ただしpは定数とする。

授業での解説が分かりづらくていまいち証明のプロセスが分からなかったのでどなたか解説をよろしくお願いします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

y^2=4pxをxで微分する
2yy'=4p　　　　　　　　…(※)
よってx=a,y=bの時
2by'(x=a) = 4p　　　　　(y'(x=a)はx=aの時の微分係数)
by'(x=a) = 2p　　　　　…(1)

接線の方程式は
y-b = y'(x=a)(x-a)
両辺をb倍すると
by-b^2 = by'(x=a)(x-a)
(1)よりby'(x=a) = 2pなので
by-b^2 = 2p(x-a)
by = 2px-2pa+b^2　　　…(2)

ここで(a,b)はy^2=4px上の点なので
b^2=4pa
(2)に代入すると
by = 2px-2pa+4pa
= 2px+2pa
= 2p(x+a)

(※)
d(y^2)/dx = {d(y^2)/dy}(dy/dx) = 2y*dy/dx = 2yy'
y'=dy/dxで、微分を表わす

お礼

大変わかりやすかったです
ありがとうございました

回答No.2

alice_44

y^2 = 4px と
αy+β = x …(*) を連立して
解が一組だけになるようにすれば、
(*) が求める接線になります。

y^2 = 4p(αy+β) が y について
重根を持つように、判別式=0 を立式しましょう。
また、(*) が (a,b) を通ることから
αb+β = a です。
この二式を α,β の連立方程式と見て、
α,β を求めれば ok です。