一橋大学の微分の問題について

質問

こんにちは。高校2年生です。
学校で唐突に以下の一橋大学の過去問を出題されました。いくら考えても値がおかしくなってしまいます。教えてください！！

※ｘの２乗はｘ2、２分の１は１／２で表します。

問．ｐ，ｑはｐ＞ｑを満たす定数で、２つの放物線ｙ＝１／２（ｘ2＋ｐｘ＋ｑ）・・・〔１〕、ｙ＝１／２（ｘ2＋ｑｘ＋ｐ）・・・〔２〕は点（ａ，０）において交わり、交点における両放物線の接線は互いに直行する。
　　１）ａの値を求めよ。
　　２）ｐ，ｑの値を求めよ。

わかりにくければ紙などに書き写していただければ、見やすくなると思います。

回答No.3

tan1tan2 · ベストアンサー

1)は　放物線[1]と[2]から連立してyを消去すると
1/2(x2+px+q)=1/2(x2+qx+p)となり、両辺を２倍してx2を移項して相殺すると、px+q=qx+pとなり、これを満たすxの値がaの値となるから、p＞qよりx=1つまりa=1となります。

2)は　pとqの値、つまり未知数を２つ求めたいので、条件式が２つ必要になります。
１つ目の条件式は、放物線[1]と[2]が(a,0)つまり(1,0)を通ることを利用すれば、1/2(1+p+q)=0　となり、両辺を２倍すると、p+q+1=0　…(1)　となります。
２つ目の条件式は、接線が直交するので接線の傾きをかけると-1になることを利用すれば、放物線[1]を微分してy'=1/2(2x+p)　となり、放物線[2]を微分してy'=1/2(2x+q)　となるから、それぞれの接線の傾きは、xに接点のx座標であるaつまり1を代入すれば、1/2(2+p) と 1/2(2+q)　となります。これをかけて-1とすればよいので、1/4(2+p)(2+q)=-1 となり、両辺を2倍して(2+p)(2+q)=-4　…(2)となりました。
あとは連立方程式(1)(2)を解けば、(p,q)=(2,-3),(-3,2)が求められますが、条件にp>qとあるので、(p,q)=(2,-3)となると思います。

計算は恐らくあっていると思いますが間違っていたらすみません。一度確認してみてください。
ちなみに、問題文にある　p>q　みたいな、文字の大小関係を表す表現は、p-q>0　と変形できることから、p-q≠0　つまり、p-q でくくって割ることができる！　ということを示唆しているので、1)のaを求めるときに、p-q で因数分解して両辺をp-qで割るという変形が予想できます。

お礼

ご回答ありがとうございます！！
１）のａの値を（お恥ずかしい）計算間違いをしていたみたいで、後はスムーズにできました。

回答No.2

endlessriver

aは2式に(a,0)を入れて余分なものを消せば以外と簡単に求まります。
あと傾きm1,m2が直交するとはm1*m2=-1です。これらからうまくp,qの式を選び出して計算します。

お礼

ご回答ありがとうございます！！
そこまではいけたのですが、ａの値の計算間違いをしていたみたいです。（しかも小学生レベルの…）

回答No.1

Iseebi007

１）は二式を連立してxを求めたら、できますよね。
２）は直交するとは、どういうことかを考えれば出来るはずです。
p,qの二つの未知数があるのですから、当然p,qの関係式が二つ必要
です。そのうち１つは、（a,0）を放物線の式のx,yに代入します。
このときaは1)で求めた値を使います。
もう１つの式は、接線の傾きを求め直交することを考えて導きます。
放物線の二次関数を微分すれば、接線の傾きが分かります。
問題で与えられた二つの放物線の式を微分して、接線の傾きを
求めたら、直交する条件に当てはめれば良いはずです。
頑張ってください。

お礼

ご回答ありがとうございます！！
なんとか答えを出せました。