a,bを0でない異なる定数で、二つの放物線y=ax2-1/4a,y=b

質問

a,bを0でない異なる定数で、二つの放物線y=ax2-1/4a,y=bx2-1/4bが共有点をもつとき、その点におけるこれらの放物線の接線は直交することを証明せよという問題で

ax2-1/4a=bx2-1/4b
x2=-1/4ab

まで解いたのですがその先が分かりません
どのように解けば直交することが証明できるのでしょうか

回答No.6

Au_gosu

二つの放物線の接線の傾き:y'=2ax ,y'=2bx
ax^2-1/4a=(1/4a)((2ax)^2-1)
bx^2-1/4b=(1/4b)((2bx)^2-1)

(x,y)=(X,Y),で交点をもつとして、
Y=(1/4a)((2aX)^2-1)
Y=(1/4b)((2bX)^2-1)
さらに、2aX=u, 2bX=v　と置く。

(X,Y) の連立方程式を(u,v)の連立方程式にする。
Yを消去すると1:(1/4a)(u^2-1)=(1/4b)(v^2-1)
Xを消去すると2:ub=va

a,bは0でないので1式は:b(u^2-1)=a(v^2-1)
2式より:bu^2=uva av^2=uvb

これを１式に代入すると
uva-b=uvb-a
uv(a-b)=-(a-b)
a,bは０でない異なる数なので, uv=-1

回答No.5

gcqd75ce

ベーシック2010で式を代入らして検証すると面白いよ。
簡単なベーシックですから、1カ月で習得できます。
算数にはもってこいな教材にもなりますね。

VB2010は面白いねぇ。

回答No.4

aquatarku5

おそらく、y=ax^2-1/(4a), y=bx^2-1/(4b)　ということかと・・・

共有点を持つことから、両者が等しいと置いて、x^2=-1/4(ab)
即ち、4abx^2=-1まで導いたということと想像します。

両放物線の共有点のx座標=xとすると、その接線の勾配=2ax,2by
で与えられるので、その積=-1であれば直交するということですね。

※勾配が・・・で与えられる、は、微分をご存知でしたら即導けます
　が、そうでない場合でも、放物線とその上の1点を通る直線が、
　当該1点以外に交点を持たない条件を求めれば同じ結果が導けます。

　前者の放物線について、当該1点を(s,as^2-1/(4a))、直線の
　傾きをKとおくと、直線の方程式は、
　y=K(x-s)+(as^2-1/(4a))
　これと放物線の式を連立させて、xの式として整理すると、
　ax^2-Kx-(as^2-KS)=0　
　1点しか交点を持たないことから、判別式D=0。
　これより、Kをｓ,aの式として表せます。

回答No.3

spring135

放物線y=ax2-1/4a(1)
の接線の傾きは微分してy'=2ax,
放物線y=bx2-1/4b(2)
の接線の傾きは微分してy'=2bxです。
これらが直交するためには傾きの積が-1になることです。

交点ではx^2=-1/4abよりab<0でx=±1/2(-ab)^0.5
x=1/2(-ab)^0.5における(1)の傾きはy'=a/(-ab)^0.5
(2)の傾きはy'=b/(-ab)^0.5
これらの積は
a/(-ab)^0.5・b/(-ab)^0.5＝-1よって直交する。
x=-1/2(-ab)^0.5についても同様に証明できます。

回答No.2

alice_44

x^2 = -1/(4ab)　と変形しているところを見ると、
y = ax^2 - 1/(4a),　y = bx^2 - 1/(4b)　だね。

だとすれば、そこまでは ok。
共有点を持つための条件 ab < 0 と、
共有点の x 座標 x = 1/(2√|ab|) が求まった。

あとは、両放物線の x = 1/(2√|ab|) での接線の傾きを求める。
放物線の接線の傾きは、解るね？
二直線が直交するための条件は、傾きの積が -1 であること。

回答No.1

info22_

>y=ax2-1/4a,y=bx2-1/4b
回答者に伝わる書き方をして下さい。

y=ax^2-(1/(4a)),y=bx^2-(1/(4b))
と
y=ax^2-(1/4)a,y=bx^2-(1/4)b
と
y=(ax^2-1)/(4a),y=(bx^2-1)/(4b)

のどの解釈が正しいですか？